2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　一元二次不等式的应用

[学习目标]　1．掌握分式不等式的解法．(数学运算) 2．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模) 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．应用一元二次不等式解决实际问题时应注意哪些问题？

问题2．一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间存在怎样的联系？

探究1　简单分式不等式的解法

问题　>0与(x－2)(x＋1)>0等价吗？≥0与(x－2)(x＋1)≥0等价吗？

提示：>0与(x－2)(x＋1)>0等价；

≥0与(x－2)(x＋1)≥0不等价，前者的解集中没有－1，后者的解集中有－1．

[典例讲评]　1．解下列不等式：

(1)≥0；

(2)≤1．

[解]　(1)不等式≥0可转化成不等式组

解得x≤－1或x>3．

即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}．

(2)因为≤1，

所以－1≤0，

所以≤0，所以≥0，

所以(x－4)≥0且x≠，

从而x<或x≥4．

故原不等式的解集为．

　简单的分式不等式的解法

[学以致用]　1．关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集．

[解]　∵不等式ax－b>0的解集是，

∴a>0，且a＝2b，

则不等式>0等价于>0．

∴(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5．

因此原不等式的解集为{x|1<x<5}．

探究2　三个“二次”的关系

[典例讲评]　2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝6．由a<0知c<0，，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋>0，即x2－>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．

法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为．

[母题探究]　本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由根与系数的关系知＝6且a<0．

∴c<0，，故不等式cx2－bx＋a>0，

即x2－<0，即x2＋<0，

解得－<x<－，故不等式的解集为．

　从不等式ax2＋bx＋c>0的解集中可以获取以下信息：

(1)二次项系数的符号．

(2)参数a，b，c之间的关系．

[学以致用]　2．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则下列说法正确的是(　　)

A．a>0

B．a＋b<c

C．bx＋c>0的解集是{x|x>－4}

D．cx2－bx＋a<0的解集是

AD　[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，

所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a>0，

所以－2＋4＝－，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确；

对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a>0，所以a＋b>c，所以B错误；

对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c>0可化为－2ax－8a>0，因为a>0，所以x＋4<0，解得x<－4，所以bx＋c>0的解集为{x|x<－4}，所以C错误；

对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a<0可化为－8ax2＋2ax＋a<0，因为a>0，所以8x2－2x－1>0，(2x－1)(4x＋1)>0，解得x<－或x>，所以原不等式的解集为，所以D正确．故选AD．]

【教用·备选题】　已知不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为．

(1)求实数a，b的值；

(2)解关于x的不等式：(x－c)(ax－b)>0(c为常数，且c≠2)．

[解]　(1)因为不等式x2－(a＋2)x＋b≤0的解集为，

所以

所以a＝1，b＝2．

(2)将a＝1，b＝2代入关于x的不等式：(x－c)·(ax－b)>0，即为(x－c)(x－2)>0，