1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第2课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　 1．理解向量共线、向量共面的定义．(数学抽象) 2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件．(数学运算、逻辑推理) 3．会证明空间三点共线、四点共面．(逻辑推理) 第2课时　共线向量与共面向量 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗？为什么？ 问题2．直线的方向向量和共面向量是如何定义的？ 问题3．空间向量共面的充要条件是什么？ 问题4．类比三点共线的条件，可得到四点共面的条件是什么？ 第2课时　共线向量与共面向量 探究建构 关键能力达成 探究1　空间向量共线的充要条件 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ [提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．该充要条件也适用于空间向量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [新知生成] 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取__________，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． a＝λb 非零向量a 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 【教用·微提醒】　(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [典例讲评]　1．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________． (2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 (1)1　[由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即＝λ()，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1．] (2)[解]　法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＝．① 又∵＝＝－，② ①＋②，得2＝， ∴∥，即与共线． 法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＝)－ ＝)－) ＝)＝)＝， ∴∥，即与共线． 发现规律　证明空间三点共线有哪些方法？ [提示]　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [学以致用]　1．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝． 求证：四边形EFGH是梯形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝＝． ∵＝＝＝ ＝)＝＝)＝， ∴∥，且||＝||≠||． 又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形． 探究2　空间向量共面的充要条件 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示]　不一定．如图所示，空间中的三个向量不共面． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [新知生成] 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______________或____________，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个____的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 平行于平面α 在平面α内 平面 唯一 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 【教用·微提醒】　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [典例讲评]　【链接教材P5例1】 2．(1)已知P为空间内任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若＝＋x，则x＝(　　) A． C． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 (2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)． ①判断三个向量是否共面； ②判断点M是否在平面ABC内． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 (1)B　[因为＝＋x，所以＋x＝1，故x＝，故选B．] (2)[解]　①因为＝3，所以＝()＋()，即＝＝－，所以共面． ②法一：由①知共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 法二：因为＝)＝＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 【教材原题·P5例1】 例1　如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k．求证：E，F，G，H四点共面． [分析]　欲证E，F，G，H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　因为＝＝＝＝k，所以 ＝k＝k＝k＝k． 因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝． 因此＝＝k－k＝k ＝k()＝k() ＝＝． 由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 反思领悟　向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [学以致用]　2．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量共面． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 [解]　连接AN(图略)，因为＝＝＋k()＝(1－k)＋k， ＝k＝k()， 所以＝＝(1－k)＋k－k－k＝(1－k)－k． 所以向量与向量共面． 【教用·备选题】　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1． [证明]　①充分性． ∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴＝y()＋z()， ∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面． 第2课时　共线向量与共面向量 ②必要性． ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)，使＝m＋n， ＝m()＋n()， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外， ∴不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1． 应用迁移 随堂评估自测 1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 √ A　[由三个向量共面的充要条件可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 2．下列命题正确的是(　　) A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B．若存在实数x，y，使得＝x＋y不共线)，则与共面 C．共面的三个向量的起点和终点一定共面 D．若向量a，b共线，且b与c共线，则a与c共线 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 B　[空间中，用有向线段表示的向量仍然是自由向量，而任意两个向量总是共面向量，故A错误； 当与共线时，与共面，当与不共线时，由向量共面的充要条件，可知与共面，B正确； 若其中两个向量是平行向量，第三个向量与其中一个向量有相同的起点，则这三个向量一定是共面向量，但这三个向量的起点和终点却可以不共面，故C错误； 向量a，b共线，且b，c共线，但a与c不一定共线，因为b可以为零向量，故D错误．] 3．(教材P5例1改编)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(　　) A．＝2 B．＝ C．＋2＝0 D．＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 C　[根据共面向量定理，＝x＋y＋z， 若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1， 由此得到选项A，B，D均不正确； 对于C，＝－2，∴M，A，B，C四点共面． 故选C．] 4．若a与b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则实数λ＝________． － －　[∵a＋3b与λa－b共线，∴存在实数k，使k(a＋3b)＝λa－b， ∴(k－λ)a＋(3k＋1)b＝0． 又a，b不共线，∴k－λ＝0且3k＋1＝0，∴λ＝－．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 1．知识链：     2．方法链：类比、转化化归． 3．警示牌：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？ [提示]　当b＝0时，不一定存在λ值． 2．如何证明点P，A，B，C四点共面？ [提示]　可转化为证明向量共面． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 一、选择题 1．已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 课时分层作业(二)　共线向量与共面向量 √ 34 A　[由题意可得＝＝2a＋4b，则＝2，则A，B，D三点共线；＝＝－4a＋8b，不存在实数λ满足＝λ，则A，B，C三点不共线； 不存在实数λ满足＝λ，则B，C，D三点不共线； 不存在实数λ满足＝λ，则A，C，D三点不共线．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知O为空间上任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋2，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．1 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 36 B　[法一：因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以存在x，y∈R，使得＝x＋y， 因为＝＝＝，所以＝x()＋y()，即＝(1－x－y)＋x＋y， 因为＝m＋2， 所以解得m＝－2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 37 法二：根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)， 则m＋2＋1＝1，解得m＝－2．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 38 3．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0 B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb C．若共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 39 BCD　[对于A，＝＝0，A正确； 对于B，当b＝0，a≠0时，λ不存在，B错误； 对于C，若共线，则AB，CD可以在同一条直线上，C错误； 对于D，当x＋y＋z≠1时，P，A，B，C四点不共面，D错误．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 40 4．在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝＋2 B．＝ C．＝0 D．＋2＝0 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 41 C　[根据空间向量共面定理，＝x＋y＋z，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1． 对于A选项，由于1－1＋2＝2≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误； 对于B选项，由于≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 42 对于C选项，由已知条件：＝0，整理得＝，则为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确； 对于D选项，＋2＝0，整理得＝－－2， 由于－1－1－2＝－4≠1，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 43 －8 二、填空题 5．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 44 －8　[因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．因为A，B，D三点共线，所以＝λ，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以所以k＝－8．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 45 6．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋λ，若共面，则λ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[法一：由题意＝＝－λ＝＝－－λ＝＝－＋(1－λ)，因为共面， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 46 所以存在唯一实数对(m，n)，使得＝m＋n， 即－λ＝m＋n， 所以解得λ＝． 法二：由共面得M，A，B，C四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，＋λ＝1，即λ＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 47 7．给出下列四个命题： ①若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb； ③若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面； ④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使＝x＋y． 其中 ________是真命题．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ①③ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 48 ①③　[①由共面向量定理知，若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面，故正确； ②若a，b共线，且p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p＝xa＋yb，故错误； ③由共面向量定理知，若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面，故正确； ④若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使＝x＋y，故错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 49 三、解答题 8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．若＝a，＝b，＝c． (1)用a，b，c表示； (2)求证：E，F，B三点共线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 50 [解]　(1)＝＝＝a－c－b． (2)证明：已知＝a，＝b，＝c， 连接AC(图略)． ∵＝2＝，∴＝＝， ∴＝＝b， ＝)＝)＝a＋b－c， ∴＝＝a－b－c＝， 又∵由(1)知＝a－b－c，∴＝，且有公共点E， ∴E，F，B三点共线． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 51 9．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若p＝2x＋3y，则p与x，y共面 B．若＝2＋3，则M，P，A，B共面 C．若＝0，则A，B，C，D共面 D．若＝，则P，A，B，C共面 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 52 ABD　[选项A，根据共面向量定理可知，p与x，y共面，所以A选项是正确的； 选项B，根据共面向量定理可知，共面，由于它们有公共点M， 则M，P，A，B共面，所以B选项是正确的； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 53 选项C，举反例说明，若是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O为起点的体对角线向量，而是该体对角线向量的相反向量， 此时显然四个点A，B，C，D不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由＝，可得＝1，所以P，A，B，C共面，即D选项是正确的．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 10．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 55 BCD　[对于A：当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B：当μ＝1时，＝λ，则＝λ，则∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C：当λ＋μ＝1时，可得μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，由于存在线性关系，即点P在线段B1C上，故C正确；对于D：当λ＝μ时，＝λ()＝λ，由于存在线性关系，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 56 11．已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 0　[由λ＋m＋n＝0， 得＝－． 由A，B，C三点共线知， －＝1，所以λ＋m＋n＝0．] 0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 57 12．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE． 求证：向量共面． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 58 [证明]　因为点M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝． 同理，＝． 所以＝＝＝＝． 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 59 13．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝＝2，AC1与平面EFG交于点M，求． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　共线向量与共面向量 60 [解]　由题图知，设＝λ(0＜λ＜1)，由已知，得＝＝2＋3， 所以＝2λ＋3λ．因为M，E，F，G四点共面， 所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 61 $$