2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　一元二次不等式的解法

[学习目标]　1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．一元二次不等式的概念是什么？

问题2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？

问题3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？

探究1　一元二次不等式的概念

问题1　观察下面的式子：

(1)2x2－1≥0；

(2)x2－3x<0；

(3)3x2＋2x－1>0．

它们有怎样的共同特征？

提示：都是含有一个未知数的不等式，并且未知数的最高次数为2．

[新知生成]

【教用·微提醒】　(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母．

(2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0．

探究2　二次函数与一元二次方程、

不等式的解的对应关系

问题2　如图，二次函数y＝x2－x－6的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－x－6＝0的根有什么关系？

提示：函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根．

问题3　你能借助二次函数y＝x2－x－6的图象写出x2－x－6<0的解集吗？

提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－x－6<0的解集为{x|－2<x<3}．

[新知生成]

1．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．

(2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．

[典例讲评]　【链接教材P52例1、例2、例3】

1．(源自苏教版教材)解下列不等式：

(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；

(3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0．

[解]　(1)方程x2－7x＋12＝0的根为x1＝3，x2＝4．

根据y＝x2－7x＋12的图象(图①)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}．

(2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0．

方程x2＋2x－3＝0的根为x1＝－3，x2＝1．

根据y＝x2＋2x－3的图象(图②)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．

①　　　　　②　　　　③　　　　④

(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的根x1＝x2＝1．

根据y＝x2－2x＋1的图象(图③)，可得原不等式的解集为∅．

(4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．

根据y＝x2－2x＋2的图象(图④)，可得原不等式的解集为R．

【教材原题·P52例1、例2、例3】

例1　求不等式x2－5x＋6>0的解集．

分析：因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．

[解]　对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．

画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象(图2.3-2)，结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．

例2　求不等式9x2－6x＋1>0的解集．