2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　基本不等式在实际问题中的应用

[学习目标]　1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．(数学抽象) 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(数学抽象)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．利用基本不等式求最值的依据是什么？

问题2．利用基本不等式解决实际问题时应注意什么？

探究1　简单的和定、积定问题

[典例讲评]　【链接教材P46例3】

1．(源自湘教版教材)(1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

[解]　(1)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且xy＝12．

由≥，可得x＋y≥2＝2＝4，

当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝2．

所以把12写成两个2的乘积时，它们的和最小，最小和为4．

(2)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且x＋y＝25．由≤，可得xy≤，

当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝．

所以把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为．

【教材原题·P46例3】

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

分析：(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短．

(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大．

[解]　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m．

(1)由已知得xy＝100．

由≥，

可得x＋y≥2＝20，

所以2(x＋y)≥40，

当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立．

因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．

(2)由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2．

由≤＝9，

可得xy≤81，

当且仅当x＝y＝9时，上式等号成立．

因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．

　该类应用题实际上是基本不等式最值定理的实际应用，解答过程中，一是注意实际问题中变量的范围，二是注意应用基本不等式求最值的条件．

[学以致用]　1．已知直角三角形的面积为8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小？最小值是多少？

[解]　设直角三角形两直角边长分别为x，y，依题意，S＝xy＝8，则xy＝16，

于是x＋y≥2＝8，当且仅当x＝y＝4时取等号，

所以当直角三角形直角边长都为4 cm时，两条直角边的长度和取得最小值8 cm．

探究2　费用最低(用料最少)问题

[典例讲评]　2．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200 m2，高度为1 m的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池的外壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行)的建造费为248元/m2，池底

的建造费为．设污水处理池的长为x m，总造价为y元．

(1)求y的表达式；

(2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？求出这个最低造价．

[解]　(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为 m．

由题意可得解得≤x≤18．

y＝400＋16 000．

(2)因为y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800，

当且仅当x＝，即x＝18时取等号，

此时，．

因此，当污水处理池长为18 m，宽为 m时，其总造价最低，最低造价为44 800元．

　利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢．

[学以致用]　【链接教材P48练习T3】

2．小明在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．

[解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m．

法一：由已知得xy＝16，

由≥，可知x＋y≥2＝8，

所以2(x＋y)≥16，

当且仅当x＝y＝4时，等号成立，

因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的