2.2 第1课时 基本不等式-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

2.2　基本不等式

第1课时　基本不等式

[学习目标]　1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．基本不等式的内容是什么？

问题2．基本不等式成立的条件是什么？

问题3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？

探究1　基本不等式

问题1　由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我们以，分别代替图中的a，b，可得出什么结论？

提示：≤(a＞0，b＞0)．

问题2　上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？

提示：法一：(作差法)

－＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

所以≤．

法二：(分析法)

要证≤，

只需证2≤a＋b，

只需证2－a－b≤0，

只需证－(－)2≤0，

显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．

所以≤．

问题3　结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？

提示：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤．

因此，基本不等式≤的几何意义是“圆的半径不小于半弦”．

[新知生成]

1．基本不等式：如果a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

【教用·微提醒】　(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式：

(1)a＋≥2；

(2)≥2．

[证明]　(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当

a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立．

(2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立．

　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足．

[学以致用]　1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．∀a，b∈R，≥成立

B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2

C．∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab

D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号

BC　[A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；

D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．]

探究2　最值定理

问题4　仔细观察典例1中a＋两个代数式，它们有什么共性？

提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x·＝1(定值)．

问题5　借助≤，能求哪几类问题的最值？

提示：当a>0，b>0时，有①ab≤；②a＋b≥．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值．

[新知生成]

　已知x，y都为正数，则：

(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．

简记为：积定和最小，和定积最大．

[典例讲评]　【链接教材P45例1、例2】

2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　)