2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　等式性质与不等式性质

[学习目标]　1．掌握等式和不等式的基本性质．(数学抽象) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．等式的基本性质有哪些？

问题2．不等式的基本性质有哪些？

探究1　等式的性质与不等式的性质

问题1　等式有哪些基本性质？

提示：等式有下面的基本性质：

性质1(对称性)　如果a＝b，那么b＝a；

性质2(传递性)　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3(可加性)　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4(可乘性)　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5(可除性)　如果a＝b，c≠0，那么．

发现等式基本性质的方法：运算中的不变性就是性质．

[新知生成]

不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a．

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；

a＞b，c＜0⇒ac＜bc．

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．

【教用·微提醒】　

1．不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算．

2．应用不等式一定要搞清不等式成立的前提条件．

[典例讲评]　1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是(　　)

A．若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d

B．若a＞b，c＞d⇒ac＞bd

C．若bc－ad＞0，＞0⇒b＜0

D．若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞

ABC　[对于A，由a＝d＞b＝c⇒a＋c＝b＋d，可知A不成立，故A符合题意；

对于B，由a＞b＝0＝c＞d⇒ac＝bd，可知B不成立，故B符合题意；

对于C，若a＞0，bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，b＞0，可知C不成立，故C符合题意；

对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞0，＞0，＝＞1⇒＞，可知D成立，故D不符合题意．故选ABC．]

　利用不等式判断正误的两种方法

(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．

(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

[学以致用]　【链接教材P42练习T2】

1．(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　)

A．a＋d>b＋c　　　 B．a＋c>b＋d

C．ad>bc  　 D．ac>bd

ACD　[不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1，

此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误，故A符合题意；

ad＝－2<bc＝0，故C错误，故C符合题意．

设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6，

则ac＝15<bd＝24，故D错误，故D符合题意；

因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质(同向可加性)

得a＋c>b＋d，故B正确，故B不符合题意．故选ACD．]

【教材原题·P42练习T2】用不等号“>”或“<”填空：

(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c________b－d；

(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac______bd；

(3)如果a＞b＞0，那么________；

(4)如果a＞b＞c＞0，那么________．

(1) >　(2)<　(3)<　(4)<　[(1)∵c＜d，∴－c＞－d．

∵a＞b，∴a－c＞b－d．

(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∵a＞b＞0，

∴－ac＞－bd，∴ac＜bd．

(3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0，

∴a·＞b·＞0，∴＞＞0，

∴＞，即＜．

(4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0．

于是a·＞b·，即＞，即＜．

∵c＞0，∴＜．]

探究2　利用不等式的性质证明不等式

[典例讲评]　【链接教材P42例2】

2．若a>b>0，c<d<0，<．

[证明]　因为c<d<0，所以－c>－d>0，

又因为a>b>0，

所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a－c>b－d>0，

所以(a－c)2>(b－d)2>0，

所以0<<．

因为a>b，d>c，

所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a＋d>b＋c．