2.1 第1课时 不等关系与不等式-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

2.1　等式性质与不等式性质

第1课时　不等关系与不等式

[学习目标]　1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．如何比较两个实数的大小？

问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？

探究1　用不等式(组)表示不等关系

问题1　如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？

提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．

[新知生成]

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．

【教用·微提醒】　常见的文字语言与符号语言之间的转换

[典例讲评]　1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．

(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；

(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系．

[解]　(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，这时菜园的另一边长为(m)，所以菜园的面积S＝x，

依题意有S≥110，即x≥110，

故该题中的不等关系可用不等式组表示为

(2)因为矩形的另一边长15－≤11，所以x≥8，

又0<x≤18，且x≤11，

所以8≤x≤11．

　利用不等式(组)表示不等关系的注意点

(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示．

(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．

[学以致用]　【链接教材P40练习T1】

1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：

该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为(　　)

A．5x＋3y＋10z≥55

B．5x＋3y＋10z≤55

C．12x＋6y＋13z≤125

D．12x＋6y＋13z≥125

BC　[因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC．]

【教材原题·P40练习T1】用不等式或不等式组表示下面的不等关系：

(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；

(2)a与b的和是非负实数；

(3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．

[解]　(1)0＜h≤4．

(2)a＋b≥0．

(3)由题，知矩形场地的长为(L＋10) m，宽为(W＋10) m，则

探究2　基本事实

问题2　数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？

提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b．

[新知生成]