2.2 第1课时 基本不等式-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [学习目标]　1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理) 第1课时　基本不等式 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．基本不等式的内容是什么？ 问题2．基本不等式成立的条件是什么？ 问题3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 第1课时　基本不等式 探究建构 关键能力达成 探究1　基本不等式 问题1　由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我们以，分别代替图中的a，b，可得出什么结论？ 提示：≤(a＞0，b＞0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 问题2　上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？ 提示：法一：(作差法) －＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 法二：(分析法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 问题3　结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？ 提示：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤． 因此，基本不等式≤的几何意义是“圆的 半径不小于半弦”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [新知生成] 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则__________，当且仅当____时，等号成立．其中_____叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数． 2．两个正数的算术平均数______它们的几何平均数． 𝑎＝𝑏 不小于 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 【教用·微提醒】　(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式： (1)a＋≥2； (2)≥2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [证明]　(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立． (2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 √ [学以致用]　1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．∀a，b∈R，≥成立 B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C．∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 BC　[A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立； D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 探究2　最值定理 问题4　仔细观察典例1中a＋两个代数式，它们有什么共性？ 提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x·＝1(定值)． 问题5　借助≤，能求哪几类问题的最值？ 提示：当a>0，b>0时，有①ab≤；②a＋b≥．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [新知生成] 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值____； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值______． 简记为：积定和最小，和定积最大． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [典例讲评]　【链接教材P45例1、例2】 2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是 (　　) A．4 　 B．4 C．9 　 D．18 (2)当x>0时，求＋4x的最小值． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (1)D　[∵m>0，n>0，mn＝81， ∴m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．] (2)[解]　∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [母题探究]　本例(2)的条件“x>0”变为“x<0”，求＋4x的最大值． [解]　∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 【教材原题·P45例1、例2】 例1　已知x>0，求x＋的最小值． 分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0，使∀x>0，都有x＋≥y0．观察x＋，发现x·＝1．联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0＝2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [解]　因为x>0， 所以x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 例2　已知x，y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [证明]　因为x，y都是正数，所以 ≥． (1)当积xy等于定值P时， ≥， 所以x＋y≥2， 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (2)当和x＋y等于定值S时， ≤， 所以xy≤S2， 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式求最值时要注意的三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [学以致用]　【链接教材P46练习T4】 2．若0≤x≤8，则的最大值为(　　) A． 　 B．4 C． 　 D． √ B　[因为0≤x≤8，所以8－x≥0，所以≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 【教材原题·P46练习T4】已知－1≤x≤1，求1－x2的最大值． [解]　当x＝±1时，1－x2＝0． 当－1＜x＜1时，1－x＞0，1＋x＞0， ∴1－x2＝(1－x)(1＋x)≤＝1， 当且仅当1＋x＝1－x，即x＝0时，等号成立． ∴1－x2的最大值为1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 探究3　拼凑法利用基本不等式求最值 [典例讲评]　3．(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________． (2)已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为________． 6　 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (1)6　(2)　[(1)因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋的最小值为6． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 法二：∵0<x<，∴－x>0． ∴y＝x(1－3x)＝3·x＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [母题探究]　本例(1)变为：函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4　　 B．5 C．－2　　 D．2 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 C　[因为x<2，所以x－2<0，则y＝x＋＋2＝ －＋2≤－2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： 拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换 变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标 拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提 提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 [学以致用]　3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A． 　 B．2 C．2 　 D．4 (2)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (1)B　[∵a>0，b>0，a＋2b＝4， ∴ab＝＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (2)[解]　∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＋3≤3＝ －2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故当x＝1时，ymax＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 【教用·备选题】　已知x>－1，则的最小值为______． 16　[ ＝＝(x＋1)＋＋10， ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16． 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．] 16　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 应用迁移 随堂评估自测 1．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　) A．1 　B． C． 　D． √ C　[已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 √ 2．设x>y>0，则下列各式中正确的是(　　) A．x>>>y B．x>>>y C．x>>y> D．x>>y> 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 A　[∵x>y>0， ∴2x>x＋y，>，>， 即>y，∴x>>>y．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 √ 3．(教材P46练习T2改编)已知x>0，y>0，则的最小值为(　　) A．15 　 B．12 C．8 　 D．6 B　[由基本不等式可知≥2＝12， 当且仅当，即y＝2x时，等号成立， 所以的最小值为12．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 4．(教材P48习题2.2T1改编)若0<a<2，则的最大值为________． 1　[当0<a<2时，2－a>0，则≤＝1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立．因此，的最大值为1．] 1　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 1．知识链： 2．方法链：公式法、拼凑法． 3．警示牌：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何由不等式a2＋b2≥2ab推导出≤？ [提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到a＋b≥2，即≤． 2．基本不等式≤的常见变形有哪些？ [提示]　①a＋b≥2；②ab≤． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(十二)　基本不等式 √ 一、选择题 1．已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　) A．A≥B 　B．A≤B C．A＞B 　D．A＜B A　[∵x＞0，A＝x－2，B＝－，∴A－B＝x＋－2≥2－2＝0．当且仅当x＝，即x＝1时取等号．即A≥B．故选A．] 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为(　　) A．1 　 B．0 C．－1 　 D．－4 B　[根据题意有x＝－y－2，故x－－2≥2－2＝0，当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时取等号．因此，x－的最小值为0．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 D　[由x＞1，y＞0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤＝1，当且仅当x－1＝y，即y＝1，x＝2时取等号．所以(x－1)·y的最大值是1．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 48 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知x＞－1，当x＝a时，x－4＋取得最小值b，则a＋b＝(　　) A．－3 　 B．2 C．3 　 D．8 C　[因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0，故x－4＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，故a＝2，b＝1，a＋b＝3．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 49 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　) A．xy≤ 　 B．≥2 C．≥2 　 D．x2＋y2≥2|xy| 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立； 对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立； 对于C，＝≥2＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立； 对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知x，y为正实数，且满足4x＋y＝40，则xy的最大值是_____． 100　[因为4x＋y＝40，所以xy＝＝100，当且仅当4x＝y，即x＝5，y＝20时，等号成立． 所以xy的最大值为100．] 100　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． p>q　[∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac． 即p>q．] p>q　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．当x＞0时，y＝的最小值为________． 　[当x＞0时，＋，当且仅当x＝2时等号成立，所以当x＞0时，y＝的最小值为．] 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． (2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为x>－2，所以x＋2>0． 由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，y的最小值为6． (2)xy＝＝10， 当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值是10． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 　 B．2 C．2ab 　 D．a＋b √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 57 D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：(特殊值法)取a＝，则a2＋b2＝＝，显然最大，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n 　 B．m<n C．m＝n 　 D．不确定 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[因为a>2，所以a－2>0， 所以m＝(a－2)＋≥2＝2， 由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2． 综上可知m>n．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 60 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A． ≤(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C．(a＞0，b＞0) D．≥(a＞0，b＞0) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由题图可知，OF＝(a＋b)， OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得： CF＝＝， ∵CF≥OF，∴≥(a＋b)(a，b＞0)．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________． 　[由0＜x＜1，可得y＝x＝≤，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝．] 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．设x>0，求证：x＋． [证明]　因为x>0，所以x＋>0， 所以x＋≥2－． 当且仅当x＋，即x＝时，等号成立． 故不等式得证． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 65 [解]　(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0， ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即横线处应填． (2)因为a>0，b>0，c>0， 且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 (3)因为a>0，b>0，c>0，，所以abc≤， 又因为a＋b＋c＝1，0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． [点评]　抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　基本不等式 $$