1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

[学习目标]　1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是什么？

问题2．存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是什么？

问题3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？

探究1　命题与命题的否定的真假判断

问题1　观察下列命题，思考并回答下列问题：

①p：1的相反数是－1；q：1的相反数不是－1．

②p：π是有理数；q：π不是有理数．

(1)命题p与q之间有什么关系？

(2)命题p与命题q的真假存在什么关系？

提示：(1)命题p是对命题q的否定，命题q也是对命题p的否定．

(2)①中命题p真q假，②中命题p假q真．p与q一真一假．

[新知生成]

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

探究2　全称量词命题的否定

问题2　“∀x∈R，有x＋1>0”是一个全称量词命题，如何否定它？

提示：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x＋1>0不成立，即找到一个实数x，使x＋1≤0，也就是“∃x∈R，使x＋1≤0”，它是一个存在量词命题．

[新知生成]

全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．

【教用·微提醒】　八个字“改变量词，否定结论”．

[典例讲评]　【链接教材P29例3】

1．(源自北师大版教材)写出下列全称量词命题的否定：

(1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交；

(2)∀x∈R，有＝x．

[解]　(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”．

(2)“∀x∈R，有＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”．

【教材原题·P29例3】

例3　写出下列全称量词命题的否定：

(1)所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．

[解]　(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．

(3)该命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3．

　对全称量词命题否定的两个步骤

全称量词命题存在量词命题

①全称量词(∀)存在量词(∃)；

②结论否定结论．

[学以致用]　1．写出下列命题的否定：

(1)∀n∈N，n∈R；

(2)任意偶数的平方还是偶数；

(3)每个圆形都是中心对称图形．

[解]　(1)∃n∈N，n∉R．

(2)存在一个偶数的平方不是偶数．

(3)存在一个圆形不是中心对称图形．

探究3　存在量词命题的否定

问题3　如何写出下列存在量词命题的否定？

(1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°；

(2)∃x∈N，x2的个位数字等于3．

提示：类比全称量词命题的否定求解．

(1)所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和不等于720°．

(2)∀x∈N，x2的个位数字不等于3．

[新知生成]

　存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．

[典例讲评]　【链接教材P30例4、P31例5】

2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

[解]　(1)¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0．假命题．

(2)¬p：所有的素数都不是奇数．假命题．

(3)¬p：所有的平行四边形都是矩形．假命题．

【教材原题·P30例4、P31例5】

例4　写出下列存在量词命题的否定：

(1)∃x∈R，x＋2≤0；

(2)有的三角形是等边三角形；

(3)有一个偶数是素数．

[解]　(1)该命题的否定：∀x∈R，x＋2>0．

(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．

(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数．

例5　写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)任意两个等边三角形都相似；

(2)∃x∈R，x2－x＋1＝0．

[解]　(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．

(2)该命题的否定：∀x∈R，x2－x＋1≠0．因为对任意x∈R，