2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第2课时　等式性质与不等式性质 [学习目标]　1．掌握等式和不等式的基本性质．(数学抽象) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算) 第2课时　等式性质与不等式性质 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等式的基本性质有哪些？ 问题2．不等式的基本性质有哪些？ 第2课时　等式性质与不等式性质 探究建构 关键能力达成 探究1　等式的性质与不等式的性质 问题1　等式有哪些基本性质？ 提示：等式有下面的基本性质： 性质1(对称性)　如果a＝b，那么b＝a； 性质2(传递性)　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3(可加性)　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4(可乘性)　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5(可除性)　如果a＝b，c≠0，那么． 发现等式基本性质的方法：运算中的不变性就是性质． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [新知生成] 不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔____． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒____． (3)可加性：a＞b⇔__________． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒______； a＞b，c＜0⇒______． b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒__________． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒______． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒____________________． 【教用·微提醒】　 1．不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 2．应用不等式一定要搞清不等式成立的前提条件． a＋c>b＋d ac>bd an>bn(n∈N，n2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 √ [典例讲评]　1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是(　　) A．若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d B．若a＞b，c＞d⇒ac＞bd C．若bc－ad＞0，＞0⇒b＜0 D．若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 ABC　[对于A，由a＝d＞b＝c⇒a＋c＝b＋d，可知A不成立，故A符合题意； 对于B，由a＞b＝0＝c＞d⇒ac＝bd，可知B不成立，故B符合题意； 对于C，若a＞0，bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，b＞0，可知C不成立，故C符合题意； 对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞0，＞0，＝＞1⇒＞，可知D成立，故D不符合题意．故选ABC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 反思领悟　利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 √ [学以致用]　【链接教材P42练习T2】 1．(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c　　　 B．a＋c>b＋d C．ad>bc 　 D．ac>bd √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 ACD　[不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误，故A符合题意； ad＝－2<bc＝0，故C错误，故C符合题意． 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误，故D符合题意； 因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质(同向可加性) 得a＋c>b＋d，故B正确，故B不符合题意．故选ACD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 【教材原题·P42练习T2】用不等号“>”或“<”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c________b－d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac______bd； (3)如果a＞b＞0，那么________； (4)如果a＞b＞c＞0，那么________． >　 <　 <　 <　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 (1) >　(2)<　(3)<　(4)<　[(1)∵c＜d，∴－c＞－d． ∵a＞b，∴a－c＞b－d． (2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∵a＞b＞0， ∴－ac＞－bd，∴ac＜bd． (3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0， ∴a·＞b·＞0，∴＞＞0， ∴＞，即＜． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 (4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0． 于是a·＞b·，即＞，即＜． ∵c＞0，∴＜．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 探究2　利用不等式的性质证明不等式 [典例讲评]　【链接教材P42例2】 2．若a>b>0，c<d<0，<． [证明]　因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0， 所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 因为a>b，d>c， 所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a＋d>b＋c． 又|b|>|c|，所以b＋c>0，所以0<b＋c<a＋d， 由不等式的同向可乘性可得<． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 【教材原题·P42例2】 已知a>b>0，c<0，求证>． 分析：要证明>，因为c<0，所以可以先证明<．利用已知a>b>0和性质4，即可证明<． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [证明]　因为a>b>0，所以ab>0，>0． 所以a·>b·， 即>． 由c<0，得>． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 反思领悟　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [学以致用]　2．已知a＜b＜0，c＞0，求证：＞． [证明]　法一：∵a＜b＜0，c＞0，∴a－c＜b－c＜0，b－a＞0， ∴(b－a)c＝bc－ac＞0，∴－ac＞－bc， ∴ab－ac＞ab－bc，即a(b－c)＞b(a－c)，故＞． 法二： ＝， ∵a＜b＜0，c＞0，∴b－a＞0，a－c＜0，b－c＜0， ∴＞0，即＞． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 【教用·备选题】　已知a>b>0，c<d<0．求证：<． [证明]　因为c<d<0，所以－c>－d>0． 所以0<－<－．又因为a>b>0，所以－>－>0． 所以， 两边同乘－1，得． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 探究3　利用不等式的性质求代数式 的取值范围 [典例讲评]　3．已知－1<x<4，2<y<3． (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [解]　(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2． (2)因为－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， 所以1<3x＋2y<18． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [母题探究]　 若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围． [解]　因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3＜－y<1，所以－4<x－y<4． 又因为x<y，所以x－y<0， 所以－4<x－y<0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 反思领悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 [学以致用]　【链接教材P43习题2.1T5】 3．已知－<β<α<，求2α－β的取值范围． [解]　∵－<α<<β<， ∴－<－β<，∴－π<α－β<π． 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)， ∴－<2α－β<π． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 【教材原题·P43习题2.1T5】已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围． [解]　因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6， 因为－2＜b＜－1， 所以4＋(－2)＜2a＋b＜6＋(－1)， 即2＜2a＋b＜5． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 应用迁移 随堂评估自测 1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则> D．若a2>b2，则－a<－b √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 B　[选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b<c＋d，A不成立； 选项B，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，则B成立； 选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，C不成立； 选项D，当a＝－1，b＝0时，D不成立．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 √ 2．已知a－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．－1<－a<a<1 　 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 　 D．－1<－a<1<a B　[因为a－1>0，所以a>1，由不等式性质可得－a<－1，故－a<－1<1<a，B正确，ACD错误．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 √ 3．如果a>b，那么下列运算正确的是(　　) A．a－3<b－3 　 B．a＋3<b＋3　 C．3a<3b 　 D．< D　[因为a>b，所以a－3>b－3，故A错误； a＋3>b＋3，故B错误； 3a>3b，故C错误； <，故D正确．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 4．已知60<x<84，28<y<33，则x－y的取值范围为____________________， 的取值范围为______________． {x－y　[∵28<y<33，∴－33< －y<－28．又∵60<x<84，∴27<x－y<56． 由28<y<33，得<<，即<<3．] {x－y 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？ [提示]　不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘． 2．对不等式变形时，要注意什么？ [提示]　对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(十一)　等式性质与不等式性质 √ 一、选择题 1．对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是(　　) A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＞b，那么|a|＞|b| C．如果a＞b，那么＜ D．如果ac2＞bc2，那么a＞b 35 D　[当c＝0时，A显然错误；当a＝2，b＝－2时，B，C显然错误；由ac2＞bc2可知c2＞0，结合不等式性质可知a＞b，D正确．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．若实数a，b满足a＞0＞b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b＜0 　 B．a＋b＞0 C．a2＞b2 　 D．＞ D　[因为a＞0＞b，可得a－b＞0，所以A不正确；因为a＞0＞b，而a，b的绝对值的大小不确定，所以a＋b的符号不确定，所以a2，b2的大小关系不确定，所以BC不正确；因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以D正确．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知1<a<4，－2<b<3，则(　　) A．0<2a－b<11 　 B．－4<2a－b<5　 C．－1<2a－b<10 　 D．－2<2a－b<5 C　[因为1<a<4，所以2<2a<8， 又因为－2<b<3，所以－3<－b<2， 则－1<2a－b<10，故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 38 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 　 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax 　 D．x2>a2>ax B　[∵x<a<0，∴x2>a2． ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax． 又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2． ∴x2>ax>a2．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 39 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 5．(多选)已知实数a，b，c，d满足a＜b＜0＜c＜d，则(　　) A．a＋c＜b＋d 　 B．a＋d＜b＋c C．a2d2＞b2c2 　 D．＞ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[由a＜b＜0＜c＜d，利用同向不等式的可加性得：a＋c＜b＋d，故A正确，B错误； 再由a＜b＜0＜c＜d，可得a2＞b2＞0，d2＞c2＞0， 再利用同向不等式的可乘性得：a2d2＞b2c2，故C正确； 又由a＜b＜0＜c＜d，可得－a＞－b＞0，d＞c＞0， 再利用同向不等式的可乘性得：－ad＞－bc， 两边同除以正数(－bd)得＞，故D正确．故选ACD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为___________________． 1，－1(答案不唯一)　[由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但>，故答案可以为1，－1．(答案不唯一)] 1，－1(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 3　[①②⇒③，①③⇒②．(证明略) 由②得>0，又由③得bc－ad>0， 所以ab>0．所以②③⇒①．所以可以组成3个正确命题．] 3　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．给出以下四个命题： ①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞ ＞；④a＜b＜0⇒＞．其中真命题的序号是________． ②③　[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立； ②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立； ③a＜b＜0，得＞成立； ④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．] ②③ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做的对吗？如果不对，请指出错误的原因． 甲：因为－6<a<8，－4<b<2， 所以－2<a－b<6． 乙：因为2<b<3，所以<<， 又因为－6<a<8，所以－2<<4． 丙：因为2<a－b<4，所以－4<b－a<－2． 又因为－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0， 所以－3<a＋b<3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的． 乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负．故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．若a>b>c，a＋b＋c＝0，则有(　　) A．ab>ac 　 B．ac>bc C．ab>bc 　 D．以上都错 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 48 A　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0>c， 对于A，∵b>c，a>0，∴ab>ac，故选项A正确； 对于B，∵a>b，c<0，∴ac<bc，故选项B错误； 对于C，当a＝1，b＝0，c＝－1时，ab＝bc，故选项C错误．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．x＜y＜0，则下列不等式不成立的是(　　) A．1－x2＜1－y2 B．x2n+1＜y2n+1(n∈N) C．＜ D．＞0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[x2－y2＝(x＋y)(x－y)，因为x＜y＜0，所以x＋y＜0，x－y＜0，所以x2－y2＞0，即x2＞y2，所以1－x2＜1－y2，故A正确； 因为x＜y＜0，所以x2＞y2＞0， 所以(x2)n＞(y2)n＞0，即x2n＞y2n＞0(n∈N*)， 所以x2n+1＜y2n+1(n∈N)，故B正确； 因为y－x＞0，xy＞0， ＞0，所以＞，故C错误； 因为y＜0，x＋y＜0，所以＞0，故D正确．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 51 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[∵－>0，∴>，∴()2>()2， ∴a>b>0，∴a2－b2>0， ∴“－>0”是“a2－b2>0”的充分条件， 又∵a2－b2>0，不妨取a＝－2，b＝1， 无法推出－>0，故A正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选)已知6<a<60，15<b<18，则下列正确的是(　　) A．21<a＋b<78 　 B．－9<a－b<42 C．<<4 　 D．<< √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[A选项，6<a<60，15<b<18，故6＋15<a＋b<60＋18，即21<a＋b<78，A正确； B选项，－18<－b<－15，故6－18<a－b<60－15，即－12<a－b<45，B错误； C选项，<<，故×6<<×60，即<<4，C正确； D选项，因为<<4，且＋1，故<<5，D错误．故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．若bc－ad≥0，bd>0，求证：． [证明]　因为bc－ad≥0，所以ad≤bc． 因为bd>0，所以，所以＋1， 所以． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围． [解]　法一：设u＝a＋b，v＝a－b， 得a＝， ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v． ∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6． 则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 57 法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b． ∴∴ 又 ∴－2≤4a－2b≤10． [易错警示]　由于1≤a＋b≤4与－1≤a－b≤2中的等号不能同时成立，故不能对不等式直接相加或相减． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等式性质与不等式性质 $$