1.5.1 全称量词与存在量词-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

[学习目标]　1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？

问题2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？

探究1　全称量词与全称量词命题

问题1　观察下列语句，回答下列问题：

①x≤2；②任意给定实数x，x≤2；

③2x是偶数；④对于每一个x∈Z，2x都是偶数．

(1)上述语句都是命题吗？

(2)语句①与②有什么区别？

(3)②④有什么共同特点？

提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．

(2)②加了对x范围的限定条件“任意给定实数x”，加了量词、范围．

(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“任意、每一个”均表示所有．

[新知生成]

【教用·微提醒】　(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性

质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．

(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．

[典例讲评]　【链接教材P27例1】

1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：

(1)每一个多边形的外角和都是360°；

(2)所有的合数都是偶数；

(3)对任意的有理数x，x2也是有理数；

(4)∀x∈R，x都有平方根；

(5)∀x∈R，有－x2≤0．

[解]　(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题．

(2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题．

(3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．

(4)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题．

(5)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题．

【教材原题·P27例1】

例1　判断下列全称量词命题的真假：

(1)所有的素数都是奇数；

(2)∀x∈R，|x|＋1≥1；

(3)对任意一个无理数x，x2也是无理数．

[分析]　要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

[解]　(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题．

(2)∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1．所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|＋1≥1”是真命题．

(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称量词命题“对每一个无理数

x，x2也是无理数”是假命题．

　判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的、任意一个、一切、每一个、任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．

[学以致用]　【链接教材P35复习参考题1T10】

1．判断下列全称量词命题的真假：

(1)菱形的四条边相等；

(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(3)两个无理数的和必是无理数．

[解]　(1)真命题．(2)真命题．(3)，－均为无理数，但＋(－)＝0为有理数，假命题．

【教材原题·P35复习参考题1T10】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：

(1)勾股定理；

(2)三角形内角和定理．

[解]　(1)任意一个直角三角形，它的斜边的平方都等于两直角边的平方和．

(2)所有三角形的内角和都是180°．

探究2　存在量词与存在量词命题

问题2　观察下列语句，回答下列问题：

①3x－1＝0；②存在实数x，使3x－1＝0；

③有意义；④至少有一个实数x，使有意义．

(1)上述语句都是命题吗？

(2)语句①与②有什么区别？

(3)②④有什么共同特点？

提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．

(2)②加了对x范围的限定条件“存在实数x”，即添加了量词和范围．

(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“存在、至少有一个”都表示存在．

[新知生成]