1.4.2 充要条件-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.4.2　充要条件

[学习目标]　1．理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会判断一些简单的充要条件问题．(数学运算) 3．能进行充要条件的证明．(逻辑推理)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．什么是充分不必要条件？

问题2．什么是必要不充分条件？

问题3．什么是充要条件？

探究1　充分、必要、充要条件的判断

问题　判断下列命题的真假．

(1)若两条直线平行，则内错角相等；

(2)若内错角相等，则两直线平行；

(3)若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等；

(4)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等．

提示：(1)真　(2)真　(3)真　(4)真

[新知生成]

1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．

2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

3．条件关系判定的常用结论：

【教用·微提醒】　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别：

(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[典例讲评]　【链接教材P21例3】

1．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空．

(1)a≥5是a为正数的________；

(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________；

(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________；

(4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的________．

(1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分也不必要条件　[(1)a≥5⇒a>0，a>0⇏a≥5．因此应填“充分不必要条件”．

(2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要不充分条件”．

(3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”．

(4)x∈R时，x2＝2⇏x＝2，x＝2⇏x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．]

【教材原题·P21例3】

例3　下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；

(4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)．

[解]　(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件．

(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件．

(3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件．

(4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件．

【教师·备选题】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．

(1)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；

(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；

(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；

(4)p：a是自然数，q：a是正数．

[解]　(1)法一：当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立；

当(x－1)(x－2)＝0时，x＝1或x＝2．

∴p是q的充分不必要条件．

法二：A＝{x|x＝1}＝{1}，

B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，

可知AB，

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，

∴p是q的充要条件．

(3)由q：(x＋2)2≠y2，

得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，

故p是q的必要不充分条件．

(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p．故p是q的既不充分也不必要条件．

　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

(2)集合法：利用集合的包含关系判断．

(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性．