1.4.1 充分条件与必要条件-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件

[学习目标]　1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．什么是命题？“若p，则q”形式的命题中，p和q存在怎样的关系？

问题2．什么是充分条件？什么是必要条件？

问题3．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理存在什么关系？

探究1　命题的概念与结构

问题1　你能判断这些语句的真假吗？

(1)x>2；

(2)若A⊆B，则A∩B＝A；

(3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

(4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等．

提示：(1)无法判断 (2)真 (3)真 (4)假

[新知生成]

(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．

(2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．

[典例讲评]　1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q．

(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；

(2)对顶角相等；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

[解]　(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形．

条件：一个等腰三角形有一个内角是60°．

结论：这个三角形是正三角形．

(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等．

条件：两个角是对顶角．

结论：这两个角相等．

(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分．

条件：一个四边形是平行四边形．

结论：这个四边形的对角线互相平分．

(4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．

条件：一个四边形的对角线互相平分．

结论：这个四边形是平行四边形．

　只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”．

[学以致用]　1．判断下列命题的真假．

(1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；

(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；

(3)等腰三角形的底角相等；

(4)矩形的对角线相等．

[解]　(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题．

(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题．

(3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题；

(4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题．

【教师·备选题】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式．

(1)绝对值相等的数也相等；

(2)矩形的对角线相等；

(3)角平分线上的点到角两边的距离相等；

(4)两角分别相等的两个三角形相似．

[解]　(1)条件：两个数的绝对值相等，结论：它们相等．“若p，则q”的形式：

若两个数的绝对值相等，则它们也相等．

(2)条件：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论：这两条线段相等．“若p，则q”的形式：

若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等．

(3)条件：平面上的点在一个角的角平分线上，结论：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：

若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等．

(4)条件：两个三角形的两个角分别相等，结论：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：

若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．

探究2　充分条件与必要条件

问题2　考察下列各组中p与q之间的关系：

(1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；

(2)p：a>2，q：a>4；

(3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．

提示：(1)中p能推出q，但q推不出p．

(2)中p不能推出q，但q能推出p．

(3)中p能推出q，但q推不出p．

[新知生成]

充分条件与必要条件