1.3 第2课时 补集-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　补集

[学习目标]　1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．全集的含义是什么？

问题2．补集的含义是什么？

问题3．如何用Venn图表示∁UA？

探究1　全集与补集

问题1　方程(x－1)(x2－2)＝0在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________．

提示：{1}；{1，，－}．

问题2　如果把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？

提示：集合U是研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U．其中集合A与集合B是一种“互补”的关系．

[新知生成]

1．全集

(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U．

2．补集

【教用·微提醒】

1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z．

2．∁UA包含三层含义：

(1)A⊆U．

(2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U．

(3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．

[典例讲评]　【链接教材P13例5】

1．(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，求∁UA，∁UB．

(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，求∁UA．

[解]　(1)根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}．

(2)由题意得∁UA＝{x|x＝－3，或x>4}．

【教材原题·P13例5】

例5　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB．

[解]　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，

∁UB＝{1，2，7，8}．

　求集合的补集的方法

(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．

(2)Venn图法：借助Venn图可直观地表示全集及补集．

(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．

[学以致用]　1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA．

(1)S＝R；

(2)S＝{x|x≤2}；

(3)S＝{x|－4≤x≤1}．

[解]　(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|x<－1，或x≥1}．

(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}．

(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．

由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}．

探究2　与补集有关的参数值(范围)的求解

[典例讲评]　2．(1)设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}，∁UA＝{a}，则实数a的值为(　　)

A．0　　 B．－1

C．2　　 D．0或2

(2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

(1)A　[由集合A＝{4，a＋2}，知a＋2≠4，即a≠2，而∁UA＝{a}，全集U＝{2，4，a2}，因此解得a＝0，经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0．故选A．]

(2)[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，

得∁UA＝{x|x<－m}，