1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5　全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理) 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是什么？ 问题2．存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是什么？ 问题3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 探究建构 关键能力达成 探究1　命题与命题的否定的真假判断 问题1　观察下列命题，思考并回答下列问题： ①p：1的相反数是－1；q：1的相反数不是－1． ②p：π是有理数；q：π不是有理数． (1)命题p与q之间有什么关系？ (2)命题p与命题q的真假存在什么关系？ 提示：(1)命题p是对命题q的否定，命题q也是对命题p的否定． (2)①中命题p真q假，②中命题p假q真．p与q一真一假． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [新知生成] 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能________． 探究2　全称量词命题的否定 问题2　“∀x∈R，有x＋1>0”是一个全称量词命题，如何否定它？ 提示：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x＋1>0不成立，即找到一个实数x，使x＋1≤0，也就是“∃x∈R，使x＋1≤0”，它是一个存在量词命题． 一真一假 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [新知生成] 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：________________．也就是说，全称量词命题的否定是________命题． 【教用·微提醒】　八个字“改变量词，否定结论”． ∃x∈M，¬p(x)　 存在量词 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [典例讲评]　【链接教材P29例3】 1．(源自北师大版教材)写出下列全称量词命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)∀x∈R，有＝x． [解]　(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”． (2)“∀x∈R，有＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【教材原题·P29例3】 例3　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3． [解]　(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数． (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 发现规律　对全称量词命题否定的两个步骤 全称量词命题____量词命题 ①全称量词(∀)____________； ②结论否定结论． 存在 存在量词(∃) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学以致用]　1．写出下列命题的否定： (1)∀n∈N，n∈R； (2)任意偶数的平方还是偶数； (3)每个圆形都是中心对称图形． [解]　(1)∃n∈N，n∉R． (2)存在一个偶数的平方不是偶数． (3)存在一个圆形不是中心对称图形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 探究3　存在量词命题的否定 问题3　如何写出下列存在量词命题的否定？ (1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°； (2)∃x∈N，x2的个位数字等于3． 提示：类比全称量词命题的否定求解． (1)所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和不等于720°． (2)∀x∈N，x2的个位数字不等于3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [新知生成] 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：________________．也就是说，存在量词命题的否定是________命题． [典例讲评]　【链接教材P30例4、P31例5】 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． ∀x∈M，¬p(x) 全称量词 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [解]　(1)¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0．假命题． (2)¬p：所有的素数都不是奇数．假命题． (3)¬p：所有的平行四边形都是矩形．假命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【教材原题·P30例4、P31例5】 例4　写出下列存在量词命题的否定： (1)∃x∈R，x＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数． [解]　(1)该命题的否定：∀x∈R，x＋2>0． (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形． (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 例5　写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2)∃x∈R，x2－x＋1＝0． [解]　(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题． (2)该命题的否定：∀x∈R，x2－x＋1≠0．因为对任意x∈R， x2－x＋1＝>0，所以这是一个真命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 发现规律　对存在量词命题否定的两个步骤 存在量词命题____量词命题 ①存在量词(∃)____________； ②结论否定结论． 　全称量词(∀) 全称 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学以致用]　2．(1)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若¬p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} 　 B．{a|a≤1} C．{a|a>1} 　 D．以上都不对 (2)已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_________． √ 　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)B　(2)　[(1)∵¬p是假命题，则p是真命题， ∴ax2＋2x＋1＝0有实数根， ∴当a＝0时，即2x＋1＝0有实数根，解得x＝－，故符合要求； 当a≠0时，即有Δ＝4－4a≥0，解得a≤1且a≠0； 综上所述，a≤1． 故选B． (2)命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0的否定为∃x∈R，x2＋x＋a＝0，因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，所以Δ＝12－4a≥0，解得a≤．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【教用·备选题】　(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，<x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [解]　(1)¬p：∃x∈R，x2<－1，由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x．将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此¬q是真命题． (3)¬s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 应用迁移 随堂评估自测 √ 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 C　[此全称量词命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 √ 2．命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是(　　) A．∀x>0，2x2≠5x－1 B．∀x≤0，2x2＝5x－1 C．∃x>0，2x2≠5x－1 D．∃x≤0，2x2＝5x－1 A　[存在量词命题的否定是全称量词命题．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 √ 3．已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则下列说法正确的是(　　) A．p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° B．p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° C．p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° D．p为假命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 A　[平面五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 因此命题p是真命题，CD错误； 又命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，B错误，A正确．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 4．用符号语言表示命题：对于所有的正实数x，满足x2－x＋1＝0：___________________；该命题的否定为：___________________． ∀x>0，x2－x＋1＝0　∃x>0，x2－x＋1≠0　[用符号语言表示原命题为：∀x>0，x2－x＋1＝0， 该命题的否定为：∃x>0，x2－x＋1≠0．] ∀x>0，x2－x＋1＝0　 ∃x>0，x2－x＋1≠0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．知识链： 2．方法链：转化法． 3．警示牌：命题与其否定的真假性相反． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？ [提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？ [提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题：∃x∈M，¬p(x)． 3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？ [提示]　假命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定 √ 一、选择题 1．命题“∀x∈R，3x2－2x＋1＞0”的否定是(　　) A．∀x∈R，3x2－2x＋1＞0 B．∃x∈R，3x2－2x＋1＜0 C．∃x∈R，3x2－2x＋1≥0 D．∃x∈R，3x2－2x＋1≤0 29 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．命题“所有平行四边形的对角线互相平分”的否定是(　　) A．所有的平行四边形的对角线不互相平分 B．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 C．存在一个平行四边形的对角线互相平分 D．存在一个平行四边形的对角线不互相平分 D　[根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即将全称量词改为存在量词，并否定原结论，所以原命题的否定为“存在一个平行四边形的对角线不互相平分”．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 30 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＝0”，下列说法正确的是(　　) A．¬p：“∀x∉R，x2＋x＋1≠0”是假命题 B．¬p：“∀x∈R，x2＋x＋1≠0”是假命题 C．¬p：“∀x∉R，x2＋x＋1≠0”是真命题 D．¬p：“∀x∈R，x2＋x＋1≠0”是真命题 D　[因为命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＝0”，所以¬p：“∀x∈R，x2＋x＋1≠0”，又x2＋x＋1＝≠0，所以¬p为真命题，故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 31 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．设A是奇数集，B是偶数集，则命题“∀x∈A，2x∉B”的否定是 (　　) A．∃x∈A，2x∈B　 B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∉A，2x∉B 　 D．∀x∉A，2x∈B A　[“∀x∈A，2x∉B”，它的否定是“∃x∈A，2x∈B”．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 32 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 5．(多选)已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则(　　) A．p是存在量词命题 B．q是全称量词命题 C．p是假命题 D．¬q是真命题 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ABD　[由题意得，p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确；因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误；因为有些梯形(例如直角梯形)的对角线不相等，所以q是假命题，¬q是真命题，D正确．故选ABD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．命题“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”是________(填“真”或“假”)命题，它的否定是_______________________． 真　∃x∈R，x2＋2x＋5＝0　[由于x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0，所以∀x∈R，x2＋2x＋5≠0是真命题， 它的否定是：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0．] 真　 ∃x∈R，x2＋2x＋5＝0　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是____________________________________． ∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根　[命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题． ¬p：∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．] ∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，则实数a的取值范围是________． {a|a≥1}　[命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为∀x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3，则a≥1．] {a|a≥1}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假． (1)命题p：梯形的内角和是360°； (2)命题q：∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象关于y轴对称． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)¬p：有一个梯形的内角和不是360°． 因为所有梯形的内角和都为360°，所以¬p是假命题． (2)¬q：∃a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象不关于y轴对称． 因为∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象的对称轴为直线x＝0， 所以¬q是假命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<1 　 B．a≤1 C．a>1 　 D．a≥1 √ D　[因为p为假命题，所以¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 √ D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 41 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x| x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BD　[A选项，所有四边形的内角和都是360°，故p为真命题，则¬p为假命题，A错误； B选项，¬q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，由于x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故¬q为真命题，B正确； C选项，当x＝π时，x2也是无理数，故r为真命题，则¬r为假命题，C错误； D选项，当a＝0时，|a|＝0，故s为假命题，故¬s为真命题，D正确．故选BD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选)若“∀x∈M，x2>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A． 　 B． C． 　 D．{x|2≤x≤3} √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BD　[若“∀x∈M，x2>x”为真命题，则x2－x>0，由二次函数y＝x2－x的图象(图略)知，x<0或x>1；若“∃x∈M，x>3”为假命题，则“∀x∈M，x≤3”为真命题，综上，x<0或1<x≤3．由题意，集合M是{x|x<0或1<x≤3}的子集即可，则B，D满足条件．故选BD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知命题p：∃x∈R，使x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2． (1)写出¬p； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)¬p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0． (2)若p是真命题，得Δ＝4－4m≥0，所以m≤1． 若p为真命题，q为假命题，则 解得m≤－2． 若p为假命题，q为真命题，则 解得1<m<2． 所以m的取值范围为{m|m≤－2或1<m<2}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．某中学开展小组合作学习模式，高一(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？ [解]　一致．因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 48 $$