1.2 集合间的基本关系-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.2　集合间的基本关系

[学习目标]　1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学运算) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？

问题2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

问题3．空集是什么样的集合？空集和其他集合之间具有什么关系？

探究1　子集

问题1　我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面四个例子，你能发现它们之间的关系吗？

(1)A＝{1，2}，B＝{0，1，2，4，5}；

(2)C为我们班全体男生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合；

(3)E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}；

(4)G＝{1，2，3}，H＝{3，4，5，6}．

提示：(1)1∈A且1∈B，2∈A且2∈B，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素．我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．

(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C．

(3)集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E．

(4)集合G，H不具备包含关系．

问题2　集合A，B的关系能不能用图直观形象地表示出来？

提示：能．

问题3　与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？

提示：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．

[新知生成]

1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

2．子集

3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．

也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．

【教用·微提醒】　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B．

(2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系．

[典例讲评]　【链接教材P8例2】

1．(源自苏教版教材)判断下列各组集合中，A是否为B的子集．

(1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；

(2)A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．

[解]　(1)因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集．

(2)因为1∈A，但1∉B，所以A不是B的子集．

【教材原题·P8例2】

例2　判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：

(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；

(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．

[解]　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．

(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．

　判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察．

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

[学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　)

A．A⊆B⊆C　 B．B⊆A⊆C

C．C⊆A⊆B  　 D．A＝B⊆C

(2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________．

(1)B　(2)P＝Q　[(1)集合A，B，C的关系如图．

(2)由于P＝{x|x＝2(n＋1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以P＝Q．]

探究2　真子集

问题4　对于问题1中的集合A，B，B⊆A？类比实数a<b，那么A，B之间的关系如何进一步表示？

提示：不是．AB．

问题5　集合A＝{x|x2＋1＝0}中有多少个元素？

提示：集合A中没有元素．

[新知生成]

1．真子集

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