1.1 第2课时 集合的表示-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　集合的表示

[学习目标]　1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？

问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？

问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？

探究1　列举法

问题1　观察下面两个集合，思考并回答下列问题：

①A是由中国的“五岳”组成的集合；

②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．

(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？

(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？

提示：(1)能．集合A中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素为1，2．

(2)列举法．A＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．

[新知生成]

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

【教用·微提醒】　(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开．

(2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．

[典例讲评]　【链接教材P3例1】

1．用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；

(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．

[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．

(2)小于8的质数有2，3，5，7，

所以B＝{2，3，5，7}．

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，

所以C＝．

(4)由

得

所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，

所以D＝{(1，4)}．

【教材原题·P3例1】

例1　用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．

[解]　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}．

　用列举法表示集合的3个步骤

(1)求出集合的元素．

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．

(3)将所有元素用花括号括起来．

[学以致用]　1．用列举法表示下列集合：

(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；

(3)方程组的解组成的集合B；

(4)15的正约数组成的集合N．

[解]　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，

所以x＝－2，－1，0，1，2，

所以A＝{－2，－1，0，1，2}．

(2)由(x－2)2(x－3)＝0得x＝2或x＝3，

所以M＝{2，3}．

(3)解方程组得

所以B＝{(3，2)}．

(4)因为15的正约数有1，3，5，15，

所以N＝{1，3，5，15}．

探究2　描述法

问题2　能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？

提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因为满足x>4的实数有无数个，且无规律可循，所以x－1>3的解集无法用列举法表示．

问题3　偶数有什么特征，偶数集如何表示？

提示：偶数的特征：x＝2k，k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．

[新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

【教用·微提醒】　(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．

(2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．

(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．

(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．

[典例讲评]　【链接教材P4例2】

2．用描述法表示下列集合：

(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；