1.1 第1课时 集合的含义-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.1　集合的概念

第1课时　集合的含义

[学习目标]　1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象)　2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算)　3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1．你能举例说出初中阶段我们在代数方面学习过的集合吗？

问题2．怎样的对象全体可以构成一个集合？

问题3．集合中的元素具有哪些特征？

问题4．元素和集合之间有哪两种关系？

问题5．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

探究1　元素与集合的基本概念

问题1　阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：

①1～10之间的所有奇数；

②某校今年入学的高一学生；

③所有的平行四边形；

④到定点O的距离等于2的所有点．

(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？

(2)上述实例①③④有什么共同的特点？

提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校今年入学的每一位高一学生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆．

(2)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体．

[新知生成]

1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

【教用·微提醒】　组成集合的对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．

探究2　集合中元素的特征

问题2　英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？

提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．

问题3　分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？

提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)．

[新知生成]

1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性．

2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

【教用·微提醒】　集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．

[典例讲评]　1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　)

A．中国古代四大发明

B．地球上的小河流

C．方程x2－1＝0的实数根

D．自然数

(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．

(1)ACD　(2)－1或3　[(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不满足集合元素的确定性，因此不能构成集合；C中，方程

x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．

(2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]

[母题探究]　若将本例(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．

[解]　由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．

　(1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．

(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．

[学以致用]　【链接教材P5练习T1】

1．下列元素的全体可以组成集合的是(　　)

A．人口密度大的国家

B．所有美丽的城市

C．太阳系内的所有行星

D．优秀的高中生

C　[由题意，选项ABD中的元素都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．故选C．]

【教材原题·P5练习T1】

1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1)A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点；

(2)高中学生中的游泳能手．

[解]　(1)与定点A，B等距离的所有点可以组成集合，因为这些点是确定的．

(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．

探究3　元素与集合的关系

问题4　若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？

提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．

[新知生成]

1．元素和集合之间的关系