1.4.1 充分条件与必要条件-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 1.4.1　充分条件与必要条件 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．什么是命题？“若p，则q”形式的命题中，p和q存在怎样的关系？ 问题2．什么是充分条件？什么是必要条件？ 问题3．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理存在什么关系？ 1.4.1　充分条件与必要条件 探究建构 关键能力达成 探究1　命题的概念与结构 问题1　你能判断这些语句的真假吗？ (1)x>2； (2)若A⊆B，则A∩B＝A； (3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等． 提示：(1)无法判断 (2)真 (3)真 (4)假 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [新知生成] (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____的______叫做命题．判断为__的语句是真命题，判断为__的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，__称为命题的条件，__称为命题的结论． 真假 陈述句 真 假 p　 　q 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [典例讲评]　1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q． (1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； (2)对顶角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形． 条件：一个等腰三角形有一个内角是60°． 结论：这个三角形是正三角形． (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等． 条件：两个角是对顶角． 结论：这两个角相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分． 条件：一个四边形是平行四边形． 结论：这个四边形的对角线互相平分． (4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形． 条件：一个四边形的对角线互相平分． 结论：这个四边形是平行四边形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [学以致用]　1．判断下列命题的真假． (1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； (3)等腰三角形的底角相等； (4)矩形的对角线相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题． (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题． (3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题； (4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教师·备选题】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)角平分线上的点到角两边的距离相等； (4)两角分别相等的两个三角形相似． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)条件：两个数的绝对值相等，结论：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等． (2)条件：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论：这两条线段相等．“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (3)条件：平面上的点在一个角的角平分线上，结论：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等． (4)条件：两个三角形的两个角分别相等，结论：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 探究2　充分条件与必要条件 问题2　考察下列各组中p与q之间的关系： (1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (2)p：a>2，q：a>4； (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 提示：(1)中p能推出q，但q推不出p． (2)中p不能推出q，但q能推出p． (3)中p能推出q，但q推不出p． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [新知生成] 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p__q p⇏q 条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件 q不是p的____条件 ⇒　 充分 必要 充分 必要 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________ 充分条件 必要条件 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教用·微提醒】　(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件”“q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q”这四种表述形式等价． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [典例讲评]　【链接教材P18例1、P19例2】 2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：同位角相等，q：两条直线平行； (4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)因为p⇏q，所以p不是q的充分条件． (3)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教材原题·P18例1、P19例2】 例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若x2＝1，则x＝1； (5)若a＝b，则ac＝bc； (6)若x，y为无理数，则xy为无理数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由于(－1)2＝1，但－1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件． (5)由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)为无理数，但×＝2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4)若x＝1，则x2＝1； (5)若ac＝bc，则a＝b； (6)若xy为无理数，则x，y为无理数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． (2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以， q是p的必要条件． (3)如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但 它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． (4)显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件． (5)由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． (6)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [学以致用]　2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 (2)使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　 B．x>0 C．x>2 　 D．x<2 √ √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)BCD　(2)A　[(1)对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD． (2)∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ 探究3　充分条件与必要条件的应用 [典例讲评]　3．(1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是－＜x＜，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)B　[由题意得m－1＜x＜m＋1}， 所以 解得－， 所以实数m的取值范围是． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (2)[解]　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ [学以致用]　3．(1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥2 　 B．a≤－1或a≥2 C．a≤－1 　 D．－1≤a＜2 (2)已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)A　[由q是p的必要条件，得{x|－1≤x＜2}⊆{x|x＜a}，所以a≥2．故选A．] (2)[解]　由题意得，P是Q的子集， 则解得－≤m≤0． 所以实数m的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教用·备选题】　(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ [解]　(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2． 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要 ，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 应用迁移 随堂评估自测 1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 √ B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ 2．(多选)(教材P18例1改编)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有(　　) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 ABC　[由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意．故选ABC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 3．用符号“⇒”“⇏”填空： (1)x－3＝0________(x－2)(x－3)＝0； (2)两个三角形相似________两个三角形全等； (3)a，b都是奇数________a＋b是奇数． ⇒　 ⇏　 ⇏　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)⇒　(2)⇏　(3)⇏　[(1)因为方程(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2或x＝3， 所以x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， 但(x－2)(x－3)＝0⇏x－3＝0，故填“⇒”． (2)两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似⇏两个三角形全等，故填“⇏”． (3)a，b都是奇数⇏a＋b是奇数，且a＋b是奇数⇏a，b都是奇数，故填“⇏”．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 4．若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是______． a<－1　[若“x<－1”是“x≤a”的必要条件， 则{x|x≤a}⊆{x|x<－1}，则a<－1， 即实数a的取值范围是a<－1．] a<－1　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 1．知识链： 2．方法链：等价转化． 3．警示牌：(1)逻辑关系不清导致充分条件、必要条件判断错误． (2)求参数范围时能否取到端点值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．若“p⇒q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？ [提示]　p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？ [提示]　不同．若p是q的充分条件，则p⇒q；若p的充分条件是q，则q⇒p． 3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？ [提示]　定义法和集合法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(六)　充分条件与必要条件 √ 一、选择题 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　) A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB B．若x是无理数，则x2也是无理数 C．若x＝y，则＝ D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C中，若x＝y，当x＝y＜0，则＝不成立，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤1 　 B．m≤1或m＞2 C．1＜m＜2 　 D．1＜m≤2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[因为集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，解得1＜m≤2．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 48 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)如果命题“p⇒q”是真命题，那么下列说法一定正确的是 (　　) A．p是q的充分条件 　 B．p是q的必要条件 C．q是p的必要条件 　 D．q是p的充分条件 √ AC　[根据必要条件和充分条件的定义，p⇒q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，所以AC正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 49 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是(　　) A．－＜x＜4 　 B．－＜x＜2 C．－3＜x＜ 　 D．－1＜x＜6 AD　[由－＜5x－3＜12，解得－＜x＜3，当x满足－＜x＜3时，必满足－＜x＜4和－1＜x＜6，而不一定满足－＜x＜2和－3＜x＜．故选AD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．设集合A＝{1，2}． (1)请写出一个集合B＝________________________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝_____________________________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件． {1，2，3}(答案不唯一)　 {1}({1}，{2}任选一个作答即可) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．下列说法正确的是________．(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． ①③　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．] ①③　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，如果B的充分条件是A，则实数a的取值范围是________． {a|a>2}　[B的充分条件是A，即A是B的充分条件，得A⇒B，即A⊆B，得a>2．] {a|a>2}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则x>1； (2)若x－1＝，则x＝1； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 54 [解]　(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件． (2)由x－1＝，得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 56 A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知p：－4＜x－a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤6} B．{a|a≤－1} C．{a|a≥6} D．{a|a≤－1或a≥6} √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[因为p是q的必要条件，即q⇒p，则有{x|2＜x＜3}⊆{x|－4＜x－a＜4}＝{x解得－1≤a≤6，即a的取值范围为{a|－1≤a≤6}．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 59 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)下列式子： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<1；④－1<x<0． 其中，可以是－1<x<1的一个充分条件的序号为(　　) A．① 　 B．② C．③ 　 D．④ BCD　[∵－1<x<1，∴②③④是－1<x<1的充分条件．故选BCD．] √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为_______________；一个必要条件可以为__________________． a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一)　[因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，设两个根为x1，x2， 所以解得a≥2． 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1．] a>3(答案不唯一) a>－1(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． [解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以即所以－1≤a≤5． 即a的取值范围为{a|－1≤a≤5}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a． [解]　依题意a>0，由条件p：x<1－a或x>1＋a， 可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}， 由条件q：x<或x>1， 可设N＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 63 要使p是q的充分条件但不是必要条件， 则M ⫋ N，应有或 解得a≥． 令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2}⫋N＝， 即p⇒q，反之不成立．所以a＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 $$