1.3 第2课时 补集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.3　集合的基本运算 第2课时　补集 [学习目标]　1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算) 第2课时　补集 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．全集的含义是什么？ 问题2．补集的含义是什么？ 问题3．如何用Venn图表示∁UA？ 第2课时　补集 探究建构 关键能力达成 探究1　全集与补集 问题1　方程(x－1)(x2－2)＝0在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________． 提示：{1}；{1，，－}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 问题2　如果把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？ 提示：集合U是研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U．其中集合A与集合B是一种“互补”的关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [新知生成] 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作___． 所有元素 U 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中_____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作____ 符号语言 ∁UA＝_________________ 图形语言   不属于集合A ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 【教用·微提醒】 1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [典例讲评]　【链接教材P13例5】 1．(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，求∁UA，∁UB． (2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，求∁UA． [解]　(1)根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}． (2)由题意得∁UA＝{x|x＝－3，或x>4}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 【教材原题·P13例5】 例5　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB． [解]　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}， ∁UB＝{1，2，7，8}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 反思领悟　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地表示全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [学以致用]　1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． (1)S＝R； (2)S＝{x|x≤2}； (3)S＝{x|－4≤x≤1}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [解]　(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．   由图知∁SA＝{x|x<－1，或x≥1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 (3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 探究2　与补集有关的参数值(范围)的求解 [典例讲评]　2．(1)设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}，∁UA＝{a}，则实数a的值为(　　) A．0　　 B．－1 C．2　　 D．0或2 (2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 (1)A　[由集合A＝{4，a＋2}，知a＋2≠4，即a≠2，而∁UA＝{a}，全集U＝{2，4，a2}，因此解得a＝0，经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0．故选A．] (2)[解]　由已知A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 反思领悟　由集合的补集求解参数的方法 (1)定义法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [学以致用]　2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5，7}，则实数a的值是________ ． 8或2　[因为U＝{1，3，5，7}，∁UM＝{5，7}，所以M＝{1，3}，又M＝{1，|a－5|}，所以|a－5|＝3，所以a＝8或2．] 8或2　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 探究3　集合交、并、补集的综合运算 [典例讲评]　【链接教材P13例6】 3．(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； (2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)； (4)(∁RA)∪(∁RB)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(如图①)， 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}． (2)由图①可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以∁R(A∪B)＝∅． ① 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)， 即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}， 所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅． (4)由图②可知，(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}． ② 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 【教材原题·P13例6】 例6　设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)． [解]　根据三角形的分类可知 A∩B＝∅， A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， ∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 发现规律　∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系： (1)∁R(A∪B)＝_____________． (2)∁R(A∩B)＝_____________． (∁RA)∩(∁RB) (∁RA)∪(∁RB) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [学以致用]　【链接教材P13练习T3】 3．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，求集合A，B． [解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示． 由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}． 法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1，9}，(∁UA)∩(∁UB) ＝{4，6，7}，∴∁UB＝{1，4，6，7，9}． 又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴B＝{2，3，5，8}． ∵(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1，3，9}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 【教材原题·P13练习T3】图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： (1)(∁UA)∩(∁UB)； (2)(∁UA)∪(∁UB)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [解]　如图阴影部分所示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 应用迁移 随堂评估自测 1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB等于(　　) A．{x|x是菱形} B．{x|x是内角都不是直角的菱形} C．{x|x是正方形} D．{x|x是邻边都不相等的矩形} √ B　[由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 √ 2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合∁UM＝(　　) A．{x|－2<x<3} 　 B．{x|x<－2，或x>3} C．{x|－2≤x≤3} 　 D．{x|x≤2，或x≥3} B　[因为全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，所以∁UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 3．已知全集U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁UA＝{5}，则a＝________． 4　[由题意得a2－2a－3＝5，即(a－4)(a＋2)＝0，解得a＝4或a＝－2，当a＝－2时，|a－7|＝|－2－7|＝9，即A＝{7，9}，不符合题意，舍去，则a＝4．] 4　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于________． 2　[由题意，知得a＝2．] 2　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 1．知识链： 2．方法链：数形结合、分类讨论． 3．警示牌：解决含参数的集合运算时要注意空集及端点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．集合∁AB的含义是什么？ [提示]　∁AB＝{x|x∈A，且x∉B}． 2．同一集合在不同全集下的补集相同吗？ [提示]　不同． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 3．∁UA，A及U之间存在怎样的关系？ [提示]　(1)∁UA⊆U，A⊆U； (2)(∁UA)∪A＝U； (3)(∁UA)∩A＝∅． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(五)　补集 √ 一、选择题 1．集合A＝{－2，－1，0，1，2}，∁AB＝{－1，0，2}，则B＝(　　) A．{－2} 　 B．{1} C．{－2，1} 　 D．{－2，0，2} C　[由题知A＝{－2，－1，0，1，2}，∁AB＝{－1，0，2}， 所以B＝∁A(∁AB)＝{－2，1}．故选C．] 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{－1，0，1}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} 　 B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} 　 D．{－2，－1，0，2，3} A　[集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{－1，0，1}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}，则∁U(A∪B)＝{－2，3}．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝(　　) A．1　 　 B．2　 C．3　 　 D．4 B　[由集合U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，且∁UA＝{x|2≤x≤5}，可得a＝2．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 37 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁UA＝{2，3}，则m的值等于(　　) A．4 　 B．6 C．4或6 　 D．不存在 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由全集U＝{1，2，3，4}，∁UA＝{2，3}，得A＝{1，4}， 即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两个根，于是解得m＝4， 所以m的值等于4．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 39 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N|x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)   A．{0，2，4} 　 B．∁U(A∩B) C．A∩(∁UB) 　 D．(∁UA)∩(∁UB) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[由A＝{x∈N|x＜5}可得A＝{0，1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}，故∁A(A∩B)＝{0，2，4}，故A正确；∁U(A∩B)＝{0，2，4，5，6，7}，故B错误；A∩(∁UB)＝{0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6}＝{0，2，4}，故C正确；(∁UA)∩(∁UB)＝{5，6，7}∩{0，2，4，6}＝{6}，故D错误．故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪(∁UB)＝U，试写出一个符合要求的集合B＝__________________． {2}(答案不唯一)　[U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪(∁UB)＝U，则{3，4，5}⊆∁UB⊆U，∴B＝{1}或{2}或{1，2}或∅．] {2}(答案不唯一)　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝_______________． {2，3，5，7}　[法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由Venn图可知B＝{2，3，5，7}．] {2，3，5，7} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．设U＝R，A＝{x|a≤x<b}，∁UA＝{x|x<4，或x≥8}，则a＝________，b＝________． 4　8　[因为A＝{x|a≤x<b}，所以∁UA＝{x|x<a，或x≥b}，又∁UA＝{x|x<4，或x≥8}，所以a＝4，b＝8．] 4　 8　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． [解]　将U，A，B在数轴上表示，如图所示， ∵A＝{x|－2<x<3}， B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{2，4}，∁UB＝{3，4}，则(　　) A．1∈A，1∉B 　 B．2∈A，2∈B C．3∈A，3∉B 　 D．5∉A，5∈B √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{2，4}， 所以A＝{1，3，5}． 又∁UB＝{3，4}，所以B＝{1，2，5}． 所以3∈A，3∉B．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)已知U＝R，集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|x＜1}，则下列正确的是(　　) A．若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a＜1} B．若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a≤1} C．若B∩(∁UA)＝∅，则实数a的取值范围是{a|a＞1} D．若B∩(∁UA)＝∅，则实数a的取值范围是{a|a≥1} √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AD　[∵U＝R，集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|x＜1}，∴∁UA＝{x|x＞a}， 若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a＜1}； 若B∩(∁UA)＝∅，则实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选AD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 50 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1< x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) 　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) 　 D．M∪∁UN A　[由题意M∪N＝{x|x<2}，又U＝R， ∴∁U(M∪N)＝{x|x≥2}．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3，5}，(∁UM)∩N＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，则M＝_______________，N＝________________． {3，5，11，13}　{7，11，13，19}　[法一：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}． {3，5，11，13} {7，11，13，19}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法二：因为M∩(∁UN)＝{3，5}， 所以3∈M，5∈M且3∉N，5∉N． 又因为(∁UM)∩N＝{7，19}， 所以7∈N，19∈N且7∉M，19∉M． 又因为(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}， 所以∁U(M∪N)＝{2，17}， 所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知集合A＝{x|a<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤2}． (1)若a＝1，求A∪B； (2)在①A∩B＝∅，②(∁RB)∩A＝∅，③B∪(∁RA)＝R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)当a＝1时，A＝{x|1<x<2}， B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|0≤x≤2}． (2)若选①A∩B＝∅，则a＋1≤0或a≥2，解得a≤－1或a≥2． 若选②(∁RB)∩A＝∅，∁RB＝{x|x<0，或x>2}， 所以解得0≤a≤1． 若选③B∪(∁RA)＝R，∁RA＝{x|x≤a，或x≥a＋1}， 所以解得0≤a≤1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 56 (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 [解]　(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． (2)阴影部分如图所示．   (3)若A－B＝∅，则A⊆B． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　补集 $$