1.2 集合间的基本关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2　集合间的基本关系 [学习目标]　1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学运算) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象) 1.2　集合间的基本关系 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 问题2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 问题3．空集是什么样的集合？空集和其他集合之间具有什么关系？ 1.2　集合间的基本关系 探究建构 关键能力达成 探究1　子集 问题1　我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面四个例子，你能发现它们之间的关系吗？ (1)A＝{1，2}，B＝{0，1，2，4，5}； (2)C为我们班全体男生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合； (3)E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}； (4)G＝{1，2，3}，H＝{3，4，5，6}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 提示：(1)1∈A且1∈B，2∈A且2∈B，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素．我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A． (2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C． (3)集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E． (4)集合G，H不具备包含关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 问题2　集合A，B的关系能不能用图直观形象地表示出来？ 提示：能． 问题3　与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？ 提示：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [新知生成] 1．Venn图：用平面上封闭曲线的____代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作_____(或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 内部 任意 A⊆B A包含于B 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 3．一般地，如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______． 也就是说，若______，且_____，则A＝B． 图示   结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即________； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则_______ A⊆A A⊆C 任何一个 任何一个 A＝B　 A⊆B B⊆A 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教用·微提醒】　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [典例讲评]　【链接教材P8例2】 1．(源自苏教版教材)判断下列各组集合中，A是否为B的子集． (1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}； (2)A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}． [解]　(1)因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集． (2)因为1∈A，但1∉B，所以A不是B的子集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教材原题·P8例2】 例2　判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}； (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． [解]　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集． (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 反思领悟　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 √ [学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C　 B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B 　 D．A＝B⊆C (2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________． P＝Q 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 (1)B　(2)P＝Q　[(1)集合A，B，C的关系如图．   (2)由于P＝{x|x＝2(n＋1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以P＝Q．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 探究2　真子集 问题4　对于问题1中的集合A，B，B⊆A？类比实数a<b，那么A，B之间的关系如何进一步表示？ 提示：不是．A⫋B． 问题5　集合A＝{x|x2＋1＝0}中有多少个元素？ 提示：集合A中没有元素． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [新知生成] 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且____，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作_____(或B___A)，读作“____________”(或“B真包含A”) 图示   x∉A A⫋B ⫌　 A真包含于B 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 2．空集 (1)定义：不含____元素的集合叫做空集，记为__． (2)规定：____是任何集合的子集． 任何　 ⌀　 空集 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教用·微提醒】　(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [典例讲评]　【链接教材P8例1】 2．填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅     {a}     {a，b}     {a，b，c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [解]　 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教材原题·P8例1】 例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． [解]　集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}． 真子集为∅，{a}，{b}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 发现规律　与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则 (1)A的子集有___个． (2)A的非空子集有_____个． (3)A的真子集有_____个． (4)A的非空真子集有_____个． 2n　 2n－1　 2n－1 2n－2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [学以致用]　2．已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 探究3　由集合间的包含关系求参数 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，非空集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． [解]　因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得0≤m≤． 所以实数m的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [母题探究]　若本例条件“A＝{x|－1≤x≤6}”改为“A＝{x|－1<x <6}”，其他条件不变，求m的取值范围． [解]　因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 所以解得 即0＜m<， 所以m的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教用·备选题】　已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B⫋A，求m的取值集合M． [解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为B⫋A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅． 当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝． 当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－． 当B＝∅时，m＝0． 综上所述，m的取值集合M＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 反思领悟　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，特别注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 √ [学以致用]　【链接教材P9习题1.2T5】 3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B⊆A，则实数m的值是(　　) A．－2 　 B．2 C．2或－2 　 D．2或－2或0 (2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}，N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N⊆M，求实数a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 (1)D　[当B＝∅时，可得m＝0，符合题意， 当B＝{－1}时，m＝－2， 当B＝{1}时，m＝2， 综上，m的值为2或－2或0．故选D．] (2)[解]　因为a<a＋1，所以集合N≠∅． 因此N⊆M时，应满足解得－3≤a≤4． 所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤4}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 【教材原题·P9习题1.2T5】 (1)设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，求a－b的值； (2)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 [解]　(1)由于P＝Q，所以a＝－1，且－b＝1，∴a－b＝0． (2)∵A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且B⊆A， 如图所示．   ∴a≥2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 应用迁移 随堂评估自测 1．(多选)(教材P8练习T2改编)以下四个选项中，正确的为 (　　) A．{1}∈{0，1，2} B．{1，－3}＝{－3，1} C．{0，1，2}⊆{1，0，2} D．∅∈{0} √ √ BC　[A应是{1}⊆{0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是其本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确；D应是∅⊆{0}．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 √ 2．(教材P9练习T3改编)如果集合S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则(　　) A．S⊆T 　 B．T⊆S C．S＝T 　 D．S⊈T A　[S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}， 故S⊆T．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 √ 3．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集的个数为(　　) A．5 　 B．6 C．7 　 D．8 C　[集合N的真子集有：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 4．设A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若A⫋B，则a的取值范围是________． a≤－1　[集合A，B在数轴上表示如图，由A⫋B可求得a≤－1．] a≤－1　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 1．知识链： 2．方法链：观察法、数形结合、分类讨论． 3．警示牌：在由集合间的包含关系求参数时，容易遗忘空集，借助数轴解题时，容易遗漏端点的取值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？ [提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系． 2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？ [提示]　(1)∅⊆A，(2)∅⫋A(A≠∅)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？ [提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(三)　集合间的基本关系 √ 一、选择题 1．下列集合表示空集的是(　　) A．{x∈R|x2＋x＋1＝0} 　 B．{∅} C．{0} 　 D．0 39 A　[对于A，因为方程x2＋x＋1＝0无实数根，所以{x∈R|x2＋x＋1＝0}＝∅，故A正确； 对于B，集合{∅}是含有一个元素∅的集合，故B错误； 对于C，集合{0}是含有一个元素0的集合，故C错误； 对于D，0不是一个集合，故D错误．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示．] A　　　　 　B　　 　　C　　　　　D 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 　B．1 C． 　D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B，所以a＝1．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 42 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．下列命题中正确的是(　　) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 43 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 　B． C．1 　D．2 BD　[∵集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}， ∴或 解得或 ∴m＋n＝或m＋n＝2．故选BD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⫋B，则实数a的取值范围是________． {a|a≥2}　[如图，因为A⫋B，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．] {a|a≥2}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{2，3}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A ________B； (2)A________C； (3){2} ________C； (4)2 ________C． ＝ ⫋ ⫋ ∈ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)＝　(2)⫋　(3)⫋　(4)∈　[集合A为方程x2－5x＋6＝0的解集，即A＝{2，3}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A⫋C；(3){2}⫋C；(4)2∈C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知集合A＝{x∈N|－2<x<3}，则集合A的所有非空真子集有________个． 6　[因为A＝{x∈N|－2<x<3}＝{0，1，2}，所以集合A的元素个数为3，因此集合A的所有非空真子集的个数是23－2＝6．] 6　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素， 集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B⫋A． (2)当a＝0时，由题意知B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B⊆A， 此时＝3或＝5，则有a＝或a＝． 所以C＝． [点评]　关于x的方程ax－1＝0未必有解．故集合B有可能为∅． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．M⊇N D．M与N的关系不确定 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 51 B　[∵N＝，且M＝，k＋2是整数，2k＋1是奇数， ∴M⊆N，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．6 √ C　[集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 53 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为(　　) A．3 　 B．4　 C．15　 　 D．16 C　[由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，集合中有4个元素，则集合M的真子集有24－1＝15个．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知集合M＝{x|(m－1)x2＋4x＋1＝0}有且只有两个子集，则m的值为________． 1或5　[因为集合M＝{x|(m－1)x2＋4x＋1＝0}有且只有两个子集，则集合M只有一个元素，所以，关于x的方程(m－1)x2＋4x＋1＝0只有一个实根，当m－1＝0，即当m＝1时，方程为4x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；当m－1≠0，即当m≠1时，则有Δ＝16－4(m－1)＝20－4m＝0，解得m＝5．综上所述，m的值为1或5．] 1或5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A⫋B，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)若A⫋B，由图可知a>2， 即a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2， 即a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　①当2a>a＋3，即a>3时，B＝∅，显然满足题意； ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 58 可得或 解得a<－4或2<a≤3． 综上可得，实数a的取值范围是{a|a<－4或a>2}． [点评]　由于集合B受参数a取值的影响，存在B＝∅的可能，故在解决B⊆A问题时，勿忽视B＝∅这种情况． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.2　集合间的基本关系 $$