1.1 第2课时 集合的表示-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第2课时　集合的表示 [学习目标]　1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算) 第2课时　集合的表示 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？ 问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 第2课时　集合的表示 探究建构 关键能力达成 探究1　列举法 问题1　观察下面两个集合，思考并回答下列问题： ①A是由中国的“五岳”组成的集合； ②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合． (1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？ (2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 提示：(1)能．集合A中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素为1，2． (2)列举法．A＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [新知生成] 把集合的所有元素_________出来，并用______________括起来表示集合的方法叫做列举法． 【教用·微提醒】　(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 一一列举 花括号“{　}” 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [典例讲评]　【链接教材P3例1】 1．用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 (4)由 得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)， 所以D＝{(1，4)}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 【教材原题·P3例1】 例1　用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合． [解]　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}． (2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 反思领悟　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)将所有元素用花括号括起来． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [学以致用]　1．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)由(x－2)2(x－3)＝0得x＝2或x＝3， 所以M＝{2，3}． (3)解方程组得 所以B＝{(3，2)}． (4)因为15的正约数有1，3，5，15， 所以N＝{1，3，5，15}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 探究2　描述法 问题2　能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？ 提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因为满足x>4的实数有无数个，且无规律可循，所以x－1>3的解集无法用列举法表示． 问题3　偶数有什么特征，偶数集如何表示？ 提示：偶数的特征：x＝2k，k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法． {x∈A|P(x)} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 【教用·微提醒】　(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [典例讲评]　【链接教材P4例2】 2．用描述法表示下列集合： (1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合； (2)大于2小于7的整数； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合可表示为{x|－2x2＋x＝0}． (2)用描述法表示为{x∈Z|2<x<7}． (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 【教材原题·P4例2】 例2　试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0． 因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}． 方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}． (2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20．因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}． 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 反思领悟　用描述法表示集合的2个步骤 提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [学以致用]　2．下列三个集合： A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ [解]　(1)不是． (2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R， 即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值组成的集合； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以B＝{y|y≥1}， 可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值组成的集合； 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对， 可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 【教用·备选题】　中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？” 请将此三女前三次相会经过的天数组成的集合分别用列举法表示，并将此三女相会经过的天数组成的集合用描述法表示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}． 此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 探究3　集合表示方法的综合应用 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值． [解]　当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意； 当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， 故当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的根为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [母题探究]　在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． [解]　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1． 当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1． 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 反思领悟　若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [学以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，解得x＝，符合题意． ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤， 即当m≤且m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意． 由①②知，m的取值范围为m≤． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 应用迁移 随堂评估自测 1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　) A．{0，1，2，3，4} 　 B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} 　 D．{1，2，3，4，5} √ B　[由题意可得x<5，x∈N*， ∴x＝1，2，3，4，即用列举法可表示为{1，2，3，4}．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 √ 2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 B　[集合P中元素为(1，1)，(1，2)，共2个． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 √ 3．集合{1，，，2，，…}用描述法可表示为(　　) A．{x|x≥1} 　 B．{x|x≤} C．{x|x＝} 　 D．{x|x＝，n∈N*} D　[{1，，，2，，…}中的元素满足，所以{1，，，2，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________． {－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4， ∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．] {－1，4}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 1．知识链： 2．方法链：分类讨论． 3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用． (2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？ [提示]　列举法和描述法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？ [提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集； (2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1图象上的点(x，y)组成的集合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二)　集合的表示 √ 一、选择题 1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} C　[因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)，所以用描述法表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．故选C．] 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为(　　) A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1或x＝5} C．{x2－4x－5＝0} D．{－1，5} D　[根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为(　　) A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k＋8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} B　[能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此排除C，D；利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合，由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故排除A；选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确，故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 39 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．下列集合表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 41 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 5．(多选)方程组的解集可表示为(　　) A． B． C．(2，1) D．{(2，1)} ABD　[由得故结合选项可知ABD均正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若集合A＝{x|ax－4＞0}，且－3∉A，2∈A，则a的取值范围为________． {a|a＞2}　[因为－3∉A，2∈A，所以 解得a＞2，所以a的取值范围为{a|a＞2}．] {a|a＞2}　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．若集合{x|x2＋ax＝0}与集合{0，1}相等，则实数a的值为_____． －1　[由题意，x2＋ax＝0的根为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a，所以a＝－1．] －1　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B中所含的元素个数为________． 10　[因为A＝{2，4，6，8，10}， B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}， 可得满足集合B的元素为(2，4)，(2，6)，(2，8)，(4，2)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(8，2)，(2，2)，(4，4)，共10个．] 10　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．【链接教材P6习题1.1T4】 用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解构成的集合； (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1){0，－1}． (2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}． (3){x|x>8}． (4){1，2，3，4，5，6}． (5)解集用描述法表示为 解集用列举法表示为{(2，－1)}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 47 【教材原题·P6习题1.1T4】用适当的方法表示下列集合： (1)二次函数y＝x2－4的函数值组成的集合； (2)反比例函数y＝的自变量的取值组成的集合； (3)不等式3x≥4－2x的解集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 [解]　(1)二次函数y＝x2－4的函数值为y， ∴二次函数y＝x2－4的函数值y组成的集合为{y|y＝x2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}． (2)反比例函数y＝的自变量为x， ∴反比例函数y＝x≠0}． (3)由3x≥4－2x，得x≥，∴不等式3x≥4－2x的解集为． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} 　 B．{2} C．{1，2} 　 D．{1，2，3} √ A　[∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}， ∴M＝{1}．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为(　　) A．0 　 B．1 C．0或1 　 D．2 √ C　[集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1．所以实数k的值为0或1．] [点评]　对于最高次项系数含参数的方程求解时应注意其系数是否为0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 51 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是(　　) A．－ 　 B． C．{－1} 　 D． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}， ∴或 解得a＝－． 故由a的值构成的集合是．] [易错提醒]　解答完此类问题后，务必验证集合中元素的互异性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集____________________． 不是　(答案不唯一)　[由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A，若集合中有三个元素，故必有a＝，即a＝±1，故可取的集合有等．] 不是 　(答案不唯一) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．设集合B＝． (1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B． [解]　(1)当x＝1时，＝2∈N； 当x＝2时，∉N，所以1∈B，2∉B． (2)因为∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6， 所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S． (1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个； (2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 56 [解]　(1)若集合S中只有一个元素，则只需满足x＝10－x，故x＝5，则S＝{5}； 若集合S中有两个元素，则S＝{1，9}符合条件；(答案不唯一) 若集合S中有三个元素，则S＝{1，5，9}符合条件．(答案不唯一) (2)由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了， 因为5＋5＝10，5＝5，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出(也可以在6，7，8，9中选出)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 选法有1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4，四种， 所以一共有四个：S＝{1，2，3，7，8，9}或S＝{1，2，4，6，8，9}或S＝{1，3，4，6，7，9}或S＝{2，3，4，6，7，8}． [点评]　求解此题的关键是理解两条性质，其中若x∈S，则10－x∈S是解题的切入点． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　集合的表示 $$