1.1 第1课时 集合的含义-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的含义 [学习目标]　1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象)　2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算)　3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象) 第1课时　集合的含义 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．你能举例说出初中阶段我们在代数方面学习过的集合吗？ 问题2．怎样的对象全体可以构成一个集合？ 问题3．集合中的元素具有哪些特征？ 问题4．元素和集合之间有哪两种关系？ 问题5．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 第1课时　集合的含义 探究建构 关键能力达成 探究1　元素与集合的基本概念 问题1　阅读下面的例子，思考并回答提出的问题： ①1～10之间的所有奇数； ②某校今年入学的高一学生； ③所有的平行四边形； ④到定点O的距离等于2的所有点． (1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？ (2)上述实例①③④有什么共同的特点？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校今年入学的每一位高一学生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆． (2)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [新知生成] 1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的____叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 研究对象 总体 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 【教用·微提醒】　组成集合的对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 探究2　集合中元素的特征 问题2　英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？ 提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)． 问题3　分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [新知生成] 1．集合中元素的特征：______，______，______． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是______，我们就称这两个集合是相等的． 确定性 互异性 无序性 一样的 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 【教用·微提醒】　集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [典例讲评]　1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2－1＝0的实数根 D．自然数 (2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________． √ √ √ －1或3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 (1)ACD　(2)－1或3　[(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不满足集合元素的确定性，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合． (2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [母题探究]　若将本例(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围． [解]　由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 反思领悟　(1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [学以致用]　【链接教材P5练习T1】 1．下列元素的全体可以组成集合的是(　　) A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．太阳系内的所有行星 D．优秀的高中生 √ C　[由题意，选项ABD中的元素都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 【教材原题·P5练习T1】 1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； (2)高中学生中的游泳能手． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [解]　(1)与定点A，B等距离的所有点可以组成集合，因为这些点是确定的． (2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 探究3　元素与集合的关系 问题4　若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？ 提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [新知生成] 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不属于集合A a∈A 　a∉A 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ___或___ Z ___ R 【教用·微提醒】　0是自然数，0∈N． N*　 N+　 Q 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [典例讲评]　【链接教材P5练习T2】 2．(1)用符号“∈”或“∉”填空： ________N；________N*；________Z；－________Q；3.________Q；________R． (2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________． ∈ ∈　 ∉　 ∈　 ∈　 ∈　 a>－4　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 (1)∈　∈　∉　∈　∈　∈　(2)a>－4　[(1)＝2是自然数；|－10|＝10是正整数；＝0.2不是整数，不属于整数集；－是有理数；3.是无限循环小数，是有理数；是无理数，属于实数集． (2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 【教材原题·P5练习T2】 2．用符号“∈”或“∉”填空： 0________N；－3________N；0.5________Z； ________Z；________Q；π________R． ∈　∉　∉　∉　∈　∈　[0是自然数，则0∈N；－3不是自然数，则－3∉N；0.5，不是整数，则0.5∉Z，∉Z；是有理数，则∈Q；π是无理数，则π∈R．] ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 反思领悟　判断元素与集合关系的2种方法 直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可 推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [学以致用]　2．(1)(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．若a∈N，则∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R (2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2∉A，则实数a的取值范围是__________． √ √ a≥2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 (1)BC　(2)a≥2　[(1)A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确． (2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2∉A，∴2－a≤0，即a≥2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 【教用·备选题】　定义：满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 [解]　(1)数集N，Z不是“闭集”， 例如，3∈N，2∈N，而＝1.5∉N； 3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集． (2)数集Q，R是“闭集”． 由于两个有理数a与b的和，差，积，商， 即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集． 同理R也是闭集． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 应用迁移 随堂评估自测 1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为(　　) A．4 　 B．5 C．6 　 D．7 √ B　[由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 √ 2．(多选)下列关系中，正确的有(　　) A．∈R 　 B．∉Q C．|－3|∈N 　 D．∈Q √ AC　[是实数，＝2是有理数，|－3|＝3是非负整数，＝是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 3．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝________，y＝________． 1　0　[由题意得或解得或 又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0．] 1 0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 4．给出下列说法： ①某校高一年级的数学教师组成一个集合； ②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素； ③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的． 其中不正确的是________(填序号)． ②③ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 ②③　[①根据集合元素的特征可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确； ②＝3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确； ③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 1．知识链： 2．方法链：直接法、推理法． 3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素． (2)集合中忽略互异性的判断． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？ [提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 2．元素与集合间存在哪些关系？ [提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系． 3．学习了哪些常用数集？ [提示]　自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)、有理数集(Q)和实数集(R)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(一)　集合的含义 √ 一、选择题 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 025，1)与(1，2 025) D．未来世界的高科技产品 √ 37 BC　[A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与 (1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知集合M由小于5的数构成，则有(　　) A．3∈M 　 B．－3∉M C．0∉M 　 D．7∈M A　[∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．“deepseek”中的字母可构成一个集合，该集合中的元素个数是 (　　) A．5 　 B．6 C．7 　 D．8 A　[因为deepseek中字母有d，e，p，s，k，有5个元素．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 40 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　　) A．直角三角形 　 B．锐角三角形 C．钝角三角形 　 D．等腰三角形 D　[根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 41 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为(　　) A．0 　 B．－1 C．2 　 D．4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或 解得或(不满足集合元素的互异性，舍去)． 所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋0＝－1．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“∉”) ∉　∈　[∵a是偶数，b是奇数， ∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A．] ∉　 ∈　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素． 2　[由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1， 所以两个方程的根组成的集合共有2个元素．] 2　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为_____________． x≠0且x≠3　[由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．] x≠0且x≠3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R． (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1． 若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1． (2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1． 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意． 综上，实数a的值为1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　) A．1 　 B．－2 C．－1 　 D．2 √ C　[由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a， 解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．由实数x，－x，，－所组成的集合，最多含元素 (　　) A．2个 　 B．3个 C．4个 　 D．5个 √ A　[在x，－x，，－中，＝＝－x． 又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，a∈N．若集合P中恰有三个元素，则a＝________，集合P中的元素是________． 6　3，4，5　[因为x∈N，2<x<a，a∈N，且集合P中恰有三个元素，所以a＝6，此时集合P中的元素是3，4，5．] 6　 3，4，5　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为___________． 0，1，2，5　[因为x∈N，且∈Z， 则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5， 所以集合M中的元素是0，1，2，5．] 0，1，2，5　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和． [解]　当a，b同正时，＝1＋1＝2． 当a，b同负时，＝－1－1＝－2． 当a，b异号时，＝0． ∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A中不可能只有一个元素． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 54 [证明]　(1)由题意知，若a∈A，则∈A． 又因为2∈A，所以＝－1∈A． 因为－1∈A，所以∈A． 因为∈A，所以＝2∈A． 所以A中另外两个元素为－1，． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 (2)若A中只有一个元素，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数根． 所以a≠， 即集合A中不可能只有一个元素． [点评]　理解集合A中元素的特性：a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)，应用其反复代入求解即可． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　集合的含义 $$