第2章 提升课4 指、对、幂的大小比较-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

提升课4　指、对、幂的大小比较 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　(2025·河北邯郸模拟)下列不等式成立的是(　　) A.0.60.6>0.60.5　　　　　 B.log60.6>log50.5 C.0.60.5>log0.60.5 D.log60.5>log60.7 B 考点一　直接利用单调性比较大小 [解析]　y=0.6x单调递减,所以0.60.6<0.60.5,故A错误;y=log6x单调递增,所以log60.6>log60.5,又log60.5>log50.5,所以log60.6>log50.5,故B正确;0.60.5∈(0,1),log0.60.5>log0.60.6=1, 所以0.60.5<log0.60.5,故C错误;y=log6x单调递增,所以log60.5<log60.7,故D错误. 方法总结 当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较. 跟踪训练 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a C 解析:因为函数y=为增函数, 所以<,即a<b. 又因为函数y=为增函数, 所以<,即b<c,故c>b>a. [例2]　记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3,则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c D 考点二　引入媒介值比较大小 [解析]　a=30.2,b==>30.2>1,c=log0.20.3<log0.20.2=1, ∴c<a<b. 方法总结 在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤. 跟踪训练 已知a=log511,b=log2,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c D 解析:由对数函数的运算性质,可得a=log511=log5<log5=, b=log2=log28=,c=>=,所以c>b>a. [例3]　已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为(　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m A 考点三　作差(商)法比较大小 [解析]　由m5=4,得m==<,由n8=9,得n==, 因此====>1, 即>m>n, 由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2,于是得p>m>n, 所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n. 跟踪训练 已知a=,b=ln 2,c=log32,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a B 解析:因为a=>e0=1,b=ln 2<ln e=1,c=log32<log33=1,所以a 最大. 因为b-c=ln 2-log32=-=lg 2·>0,所以b>c.所以a>b>c. [例4]　已知a=5ln 4π,b=4ln 5π,c=5ln π4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c C 考点四　构造函数比较大小 [解析]　令f(x)=(x≥e), 则f'(x)=.因为x≥e,则f'(x)≤0, 可得函数f(x) 在[e,+∞) 上是减函数, 所以>,所以5ln 4π>4ln 5π,所以a>b, 同理可得>,所以4ln π>πln 4,所以5ln π4>5ln 4π,所以c>a,所以b<a<c. 构造函数,运用函数的单调性比较 构造函数,观察总结“同构”规律,很多时候三个数比较大小,可能某一个数会被隐藏了“同构”规律,所以可以优先从结构最接近的两个数寻找规律. (1)对于抽象函数,可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f外衣”比较大小. (2)有解析式函数,可以通过函数性质或者求导等,寻找函数的单调性、对称性比较大小. (3)利用图象的直观性,观察图象交点的坐标比较大小. 方法总结 已知a=,b=,则a,b的大小关系为 　　　　　.  跟踪训练 a>b 解析:构建函数f(x)=xln(x>0), 则f'(x)=ln-, 令g(x)=ln-(x>0), 则g'(x)=-<0, 可知f'(x)在(0,+∞)上单调递减. 又当x→+∞时,f'(x)→0, 所以f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(2 026)>f(2 025),即a>b. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.设a=,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b<a<c　　　　　　　　 B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b B A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:a==>1,且<=b, 又c=log2<log22=1. 故c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 解析:a=log52<log5==log82<log83=b,即a<c<b. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.设a=log23,b=2log32,c=2-log32,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c A 解析:由c=2-log32=log39-log32=log3>log34=2log32=b, a-c=log23+log32-2>2 -2=2-2=0, 所以a>c,所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知a=0.60.6,b=lg 0.6,c=1.60.6,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b D 解析:因为y=x0.6在(0,+∞)上单调递增, 所以1.60.6>0.60.6>0. 又b=lg 0.6<lg 1=0,所以c>a>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.若a=log0.30.2,b=log32,c=log3020,则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为a=log0.30.2>log0.30.3=1, b=log32<log33=1,c=log3020<log3030=1, 又b-c=log32-log3020=-=<0,所以b<c, 所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若3x=4y=10,z=logxy,则(　　) A.x>y>z B.y>x>z C.z>x>y D.x>z>y A 解析:因为3x=4y=10,则x=log310>log39=2,1=log44<y=log410<log416=2, 即1<y<2,所以x>y>1, 从而z=logxy<logxx=1,所以x>y>z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知a=log32,b=log43,c=sin ,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:c=sin =,因为函数y=log3x,y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 则a=log32>log3=,b=log43>log42=. a-b=-=, 因为ln 2>0,ln 4>0,则ln 2+ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<× (ln 9)2=(ln 3)2. 故a<b,综上,b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知a=loa,b=lob,c=loc,则a,b,c大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:a=loa可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为a, b=lob可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为b, c=loc可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为c, 画出函数的图象如图所示, 由图象可知,c<b<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知a=68,b=77,c=86,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:令f(x)=(14-x)ln x, 则f'(x)=-ln x+-1. 因为y=-ln x 在(0,+∞) 上单调递减,y=-1在(0,+∞) 上单调递减, 所以f'(x)=-ln x+-1 在(0,+∞) 上单调递减. 而f'(5)=-ln 5+-1>0,f'(6)=-ln 6+-1<0, 所以当x∈[6,+∞) 时,f'(x)<0. 所以f(x)=(14-x)ln x 在[6,+∞) 上单调递减. 所以f(6)>f(7)>f(8),即8ln 6>7ln 7>6ln 8. 故a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选)设a=160.3,b=90.6,c=lo ,则(　　 ) A.a>c B.b>c C.a>b D.b>a 解析:因为a=160.3=(24)0.3=21.2,b=90.6=(32)0.6=31.2,所以31.2>21.2>21=2,即b>a>2. 因为c=lo =log23<log24=2, 所以b>a>c. ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(多选)若a=log45,b=lo3,c=eln 2,则下列a,b,c的大小关系表达正确的为(　　) A.a<b B.b<a C.c<b D.b<c AD 解析:a=lo5=log25=log2,b=lo3=log23,所以根据对数函数y=log2x的图象与单调性知log22<a<b<log24, 即1<a<b<2,c=eln 2=2,所以a<b<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选)(2025·江苏南京模拟)已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则(　 　) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:∵12x=3,12y=4,∴x=log123,y=log124. ∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增,∴y>x,故A正确; ∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误; ∵x>0,y>0,∴xy≤=,当且仅当x=y时等号成立, 而x<y,故xy<,∴C正确;∵(+)2=x+y+2=1+2<2,即+<,∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(多选)已知实数a,b,c满足=2b=log2c,则a,b,c的大小关系可能成立的是(　　 ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>c>b D.a>b>c ABC B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设=2b=log2c=t,作出函数y=,y=2x,y=log2x的图象,如图所示.设函数y=2x与函数y=图象的交点为点A,函数y=log2x与函数y=图象的交点为点B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①当直线y=t在点A的上方时,由图象可得a<b<c,A选项满足条件; ②当直线y=t在点A的下方,且在点B的上方时,由图象可得b<a<c,B选项满足条件; ③当直线y=t在点B的下方,且在x轴的上方时,由图象可得b<c<a,C选项满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=ex-x,h(x)=ln x,φ(x)=2 025x+2 025的“躺平点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:根据“躺平点”定义可得g(a)=g'(a), 又g'(x)=ex-1, 所以ea-a=ea-1,解得a=1; 同理h'(x)=,即ln b=. 令m(x)=ln x-,则m'(x)=+>0, 即m(x)为(0,+∞)上的单调递增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又m(1)=-1<0,m(e)=1->0, 所以m(x)在(1,e)上有唯一零点,即b∈(1,e). 易知φ'(x)=2 025, 即φ(c)=2 025c+2 025=φ'(c)=2 025,解得c=0. 因此可得b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(　　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由9m=10得m=log910=>1,而lg 9lg 11<=<1= (lg 10)2,所以>,即m>lg 11,所以a=10m-11>10lg 11-11=0. 又lg 8lg 10<=<(lg 9)2,所以>,即log89>m,所以b=8m-9<-9=0.综上,a>0>b. $$