第2章 第8节 对数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

第八节　对数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.对数函数的概念 函数y=logax(x>0,a>0,且a≠1)叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 知识梳理 知识点一　对数函数 2.对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 　　　　  (0,+∞)   a>1 0<a<1 值域 R 性质 过定点　　　,即x=　　　时,y=　　　  当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是　　　　函数  在(0,+∞)上是　　　　函数  (1,0) 1 0 增 减 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线　　　　对称.  y=x 知识点二　反函数 1.(湘教必修第一册P122例10改编)函数f(x)=的定义域是(　　) A.(1,+∞)　　　　　　　　 B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) D 自我评价 解析:要使函数f(x)= 有意义,只需 即解得x≥2,所以函数f(x) 的定义域为[2,+∞). 2. 如图所示,关于三个对数函数的图象,下列选项正确的是(　　) A.0<c<b<1<a B.0<b<c<1<a C.1<b<c<a D.1<c<b<a 解析:作直线y=1(图略),则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数,可得0<c<b<1<a. A 3.若函数f(x)=loga(x+2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点M,则点M的坐标为(　　) A.(-1,3) B.(-1,2) C.(-2,2) D.(-2,3) 解析:∵当x=-1时,f(-1)=loga(-1+2)+2=2,与a的值无关,∴点M的坐标为 (-1,2). B 4.函数y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值 为　　　　　.  解析:当a>1时,依题意得loga4-loga2=1, 解得a=2;当0<a<1时,依题意得loga2-loga4=1,解得a=. 2或 1.函数y=logax与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 2.如图,在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象越靠近x轴;当0<a<1时,随a的增大,对数函数的图象越远离x轴. 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(1)(2025·四川绵阳模拟)已知函数y=loga(x+b)(a,b为常数,其中a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.a=0.5,b=2　　　　　　 B.a=2,b=2 C.a=0.5,b=0.5 D.a=2,b=0.5 [解析]　由图象可得函数在定义域上单调递增, 所以a>1,排除A,C; 又因为函数过点(0.5,0),所以b+0.5=1,解得b=0.5. D 考点一　对数函数的图象及应用 (2)已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.  (1,+∞) [解析]　问题等价于函数y=f(x)的图象与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1. 方法总结 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. 2.对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 跟踪训练 1.已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=x的图象可能是(　　) B 解析:由题意得,ab=1,所以a=, 所以g(x)=x=logax,则函数f(x)=ax 与函数g(x)=x 互为反函数, 所以函数f(x)=ax 与g(x)=x 的图象关于直线y=x 对称,且具有相同的单调性,故B选项符合. 2.已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.a>0,b<-1 B.a>0,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1 D.0<a<1,-1<b<0 解析:因为函数f(x)=loga(x-b) 为减函数,所以0<a<1.又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴,所以1+b>0,即b>-1.又因为函数图象与y 轴有交点,所以b<0,所以-1<b<0. D 角度1　比较对数值的大小 [例2]　已知a=log2e,b=ln 2,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b D 考点二　对数函数的性质及应用 [解析]　法一(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2 ∈(0,1),c==log23>log2e>1,所以c>a>b. 法二(图象法):=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图.由图可知c>a>b. 方法总结 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 底数与真数都不同 常借助“1”“0”等中间量进行比较 角度2　解对数不等式(组) [例3]　已知log0.3(3x)<log0.3(x+1),则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. A [解析]　因为y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,log0.3(3x)<log0.3(x+1), 所以解得x>,即x的取值范围是. 对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性,在对数的底数不确定的情况下,要注意分类讨论. 方法总结 角度3　对数函数性质的综合应用 [例4]　(多选)下列各问题正确的是(　　 ) A.函数y=的定义域为∪(1,+∞) B.函数y=|x+3|的单调递增区间为(-∞,-3] C.若函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是(0,1) ACD [解析]　由y=有意义可知 即可得<x<1或x>1,A正确. 函数y=|x+3|的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞), 当x>-3时,y=(x+3),函数单调递减; 当x<-3时,y=(-x-3),函数单调递增; 故函数的单调递增区间为(-∞,-3),B错误. 显然函数u=x-1在(1,+∞)上是增函数,而函数y=loga(x-1)在(1,+∞)上是减函数, 因此对数函数y=logau在(0,+∞)上单调递减,则0<a<1, 所以实数a的取值范围是(0,1),C正确. 依题意,由log2x≥x,得log2x≥-log2x,即2log2x≥0,解得x≥1, 由log2x<x解得0<x<1,因此f(x)= 显然函数f(x)在(0,1)上单调递减,取值集合为(0,+∞),在[1,+∞)上单调递增,取值集合是[0,+∞),所以函数f(x)的值域为[0,+∞),D正确. 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成. 方法总结 跟踪训练 1.(2025·河南开封模拟)已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,3] B.(1,3) C.(0,1) D.(1,+∞) A 解析:令t(x)=6-ax,因为a>0,所以t(x)=6-ax为减函数. 又由函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减, 可得函数t(x)=6-ax>0在(0,2)上恒成立,且a>1, 故有解得1<a≤3. 2.(2025·河南郑州模拟)设函数f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减 B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减 C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增 A 解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}, f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|=ln|x2-9|. 令g(x)=|x2-9|, 则f(x)=ln[g(x)], 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知, 当x∈(-∞,-3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减,f(x)单调递减, 当x∈(-3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增,f(x)单调递增. 由f(-x)=ln|(-x)2-9|=ln|x2-9|=f(x)得f(x)为偶函数. 3.若函数f(x)=loga有最大值,则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.(1,2) B 解析:令t=x2-2ax+a-1, 根据复合函数的单调性,要使函数f(x)=loga有最大值, 则函数t=x2-2ax+a-1有最小正值,且函数f(t)=logat为减函数, 可知0<a<1. 要使函数t=x2-2ax+a-1有最小正值, 则Δ=4a2-4<0, 解得<a<2. 综上,a的取值范围为. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y=的定义域为(　　) A.[1,+∞)　　　　　　　 B. C. D. C A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:函数y=的定义域满足 即解得<x≤1, 故函数的定义域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　) A.log2x B. C.x D.2x-2 解析:由题意知f(x)=logax(x>0).因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2.所以f(x)=log2x. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)=若f(a)=2,则a的值为(　　) A.2或- B.2或 C.或- D.1或 A 解析:当a≥1时,log2a+1=2,解得a=2, 当a<1时,a2=2,得a=-, 所以a的值是2或-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=f(|x|-1)的图象可能是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:令y=g(x)=f(|x|-1)=loga(|x|-1),因为g(-x)=loga(|-x|-1)=g(x),所以g(x) 为偶函数,排除A,D;当x=3 时,y=g(3)=loga(|3|-1)=loga2,当x= 时, y=g=loga=-loga2,所以x=3 与x= 对应的函数值异号,排除C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知函数f(x)=ln(-2x)-1,则f(lg 3)+f=(　　) A.-1 B.0 C.2 D.-2 解析:∵f(-x)=ln-1=ln -1= -ln-1, ∴f(-x)+f(x)=-2,∴f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=-2. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2025·辽宁沈阳模拟)已知a=lo7,b=log415,c=,则下列判断正确的是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a D 解析:因为a=log2.57>log2.52.52=2,b=log415<log416=2,c==2,所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.当0<x<时,<logax(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由题意可得当0<x<时,y=的图象位于y=logax图象的下方, 因为y=在上单调递增, 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即 所以 可得≤a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选)函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　) A.a>1 B.0<c<1 C.0<a<1 D.c>1 解析:由图象可知0<a<1, 令y=0得loga(x+c)=0,x+c=1,x=1-c, 由图象知0<1-c<1,∴0<c<1. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),则下列说法正确的是(　 　) A.f(x)的定义域为(-2,4) B.f(x)在区间(-2,1)上单调递增 C.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:令解得-2<x<4, 所以f(x)的定义域为(-2,4),故A正确; 函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x) =ln[(x+2)(4-x)] =ln(-x2+2x+8)(-2<x<4), 令t=-x2+2x+8,则函数t=-x2+2x+8在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减, 又y=ln t是增函数, 所以f(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,故B正确,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又t=-x2+2x+8的图象关于直线x=1对称, 所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=　　　　　.  解析:令2x-3=1,得x=2,此时y=8,故定点A(2,8), 设f(x)=xα,则f(2)=2α=8,得α=3,故f(3)=33=27. 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.f(x)=log2是奇函数,则a=　　　　　.  解析:因为f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log2=0, 所以=1,a2=1,所以a=1或a=-1. 当a=-1时, f(x)=log2无意义不成立; 当a=1时, f(x)=log2,f(-x)=-f(x),f(x)=log2是奇函数成立. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为w,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤log2(注:lg 2 ≈0.3),根据以上信息,一张长为21 cm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折 　　　次.  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由题知, n≤log24 200== .因为log210=≈, 0<log2<1,所以n≤8+log2,n的最大值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 13.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域; 解:∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,且a≠1), ∴a=2.由得-1<x<3, ∴函数f(x)的定义域为(-1,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 (2)求f(x)在区间上的最大值. 解: f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4], ∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增; 当x∈时,f(x)单调递减, 故函数f(x)在上的最大值是f(1)=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(多选)已知函数f(x)=log4(1+4x)-x,则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在[0,+∞)上是减函数 D.函数f(x)的值域为 BD B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为f(x)的定义域为R, f(x)=log4(1+4x)-log4=log4=log4(2-x+2x), 所以f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以A错误,B正确; 令t=2x,则y=log4,令s=t+,则y=log4s, 当x∈[0,+∞)时,t∈[1,+∞),所以s=t+为增函数, 又y=log4s为增函数,所以y=log4为增函数, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又t=2x为增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数. 又f(x)为R上的偶函数, 所以f(x)≥f(0)=,所以f(x)的值域为,所以C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:令u(x)=x2-ax+=+-,则u(x)有最小值-, 欲使函数f(x)=loga有最小值, 则有 解得1<a<,即实数a的取值范围为(1,). (1,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值; 解:因为函数f(x) 是R上的奇函数,则f(0)=0,所以log2(1+a)=0,所以a=0. 经检验,当a=0 时,f(x)=-x是R上的奇函数. 所以a=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解: 由已知得函数f(x) 是减函数,故f(x) 在区间[0,1] 上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2. 由题意得log2(1+a)-log2≥2, 则log2(1+a)≥log2(4a+2), 所以 解得-<a≤-. 故实数a 的取值范围是. D.若定义运算a􀱇b=则函数f(x)=log2x􀱇x的值域是[0,+∞) $$