第10章 培优课11 概率统计与其他知识的交汇问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

培优课11　 概率统计与其他知识的交汇问题 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 内容索引 培优　随堂演练 2 [例1]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. 考点一　概率统计与数列 3 (1)求第2次投篮的人是乙的概率. [解]　第2次投篮的人是乙分为两种情况： 第1次投篮的人是甲且投篮未命中，其概率为0.5×(1－0.6)＝0.2； 第1次投篮的人是乙且投篮命中，其概率为0.5×0.8＝0.4， 所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2＋0.4＝0.6. 考点一　概率统计与数列 4 (2)求第i次投篮的人是甲的概率. [解]　设第i次投篮的人是甲为事件Ai， 则P(A1)＝0.5，P()＝P(Ai)×0.6＋[1－P(Ai)]×(1－0.8)＝P(Ai)＋， 所以P()－，所以为首项，为公比的等比数列， 所以P(Ai)－×， 所以P(Ai)＝×，i∈N*. 考点一　概率统计与数列 5 (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). [解]　由(2)知，第i次投篮的人是甲的概率为P(Ai)＝×，i∈N*， 第i次投篮的人是甲记为Xi＝1，否则记为Xi＝0，则Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝×， 由题意知E(Y)＝E(Xi)＝qi＝P(Xi＝1)＝·. 考点一　概率统计与数列 6 概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为： (1)精准定性：即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则. (2)准确建模：即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题. (3)解决模型：也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式. 方法总结 (2025·浙江宁波模拟)某中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…. 跟踪训练 (1)写出p1，p2，p3的值； 解：传球一次，球一定不在甲手中，所以p1＝0； 传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲→乙→甲，甲→丙→甲， 所以p2＝××； 传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，此时传给甲的概率为，所以p3＝×. 跟踪训练 (2)求pn＋1与pn的关系式(n∈N*)，并求pn. 解：传球n＋1次时球在甲手中，说明传球n次时球不在甲手中，概率为1－pn， 此时，传球给甲的概率为，所以有pn＋1＝(1－pn)，所以pn＋1＝－pn＋， 所以pn＋1－＝－， 因为p1－＝－， 跟踪训练 所以数列是首项为－，公比为－的等比数列， 所以pn－＝－×， 即pn＝×， 故pn＋1与pn的关系式为pn＋1＝－pn＋，pn＝×. 跟踪训练 [例2]　(2025·安徽合肥模拟)某中学为了舒展学子身心，在一周内(周 一到周五)举行了“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计 有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1 分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一 场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，，且各场比赛互不影响. 考点二　概率统计与函数 12 (1)若p＝，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望； [解]　由题可知，ξ的可能取值为2，3，4，5. 因为p＝，所以P(ξ＝2)＝×，P(ξ＝3)＝×，P(ξ＝4)＝×，P(ξ＝5)＝×， 故ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 P ξ的数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×. 考点二　概率统计与函数 13 (2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试求当p取何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值. [解]　设一天得分不低于4分为事件A，则P(A)＝p×＋p×＝p， 则f(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－p)2，0＜p＜1， 则f'(p)＝30p2(1－p)2－20p3(1－p)＝10p2(1－p)(3－5p)， 当0＜p＜时，f'(p)＞0；当＜p＜1时，f'(p)＜0， 所以f(p)在上单调递增，在上单调递减，f，故当p＝时，f(p)取得最大值. 考点二　概率统计与函数 14 概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点： (1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键. (2)注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制. 方法总结 (2025·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果，把生产的产品分为优等品与一等品.假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B. (1)试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； 解：从n＋2件产品中任选两件，有种选法，其中等级不同有·＝2n种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为p＝. 跟踪训练 (2)设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值. 解：由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)， 由f'(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， 所以当p∈时，f'(p)＞0，函数f(p)单调递增，当p∈时， 跟踪训练 f'(p)＜0，函数f(p)单调递减， 所以当p＝时，f(p)取得最大值，最大值为f·×. 此时由p＝，n≥2，且n∈N*，可解得n＝3， 所以n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为. 跟踪训练 培优　随堂演练 19 1.(2025·山东临沂模拟)强基计划主要选拔有志于服务国家重大战略需 求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在 暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学，从这7名学员中随机选取4 人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望； 2 1 20 解：ξ的所有可能取值是1，2，3，4. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝， 所以ξ的分布列为 2 1 ξ 1 2 3 4 P 数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×. 21 (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当p1＋p2＝时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 2 1 22 解：设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，则 P(A)＝＋2p1(1－p1)＋2p2(1－p2) ＝p1p2[p1p2＋2(1－p1)p2＋2p1(1－p2)]＝p1p2[2p1＋2p2－3p1p2]， 由p1＋p2＝，得P(A)＝p1p2. 令x＝p1p2＝p1＝－，因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，所以≤p1≤1， 2 1 23 所以x∈，设f(x)＝x，则f(x)＝－3x2＋x＝ －3， 因为，所以当x＝时，f(x)取得最大值， 所以，当p1＝时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值为. 2 1 24 2.甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响. (1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性. 2 1 解：设甲胜乙的概率为P0，甲胜丙的概率为P'0， 因为乙的技术比丙高，所以P0＜P'0， 若甲先与丙比赛，则甲获胜的概率为(1－P'0)·P0P'0＋P'0P0＝2P'0P0－P'P0； 25 若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为(1－P0)·P'0P0＋P0P'0＝2P'0P0－P'0； 显然2P'0P0－P'P0＜2P'0P0－P'0， 所以甲应先与乙比赛有优势，即甲猜测错误. 2 1 26 (2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设Pn(n≥3，n∈N*)为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求P3，P4； 2 1 解：P3＝1－，P4＝1－. 27 ②证明：≤Pn. 2 1 证明：考察，分为情形一：第n＋3局甲输； 情形二：第n＋3局甲赢，n＋2局甲输； 情形三：第n＋3局甲赢，n＋2局甲赢，n＋1局甲输； 由题意分为三种情形如下： 情形一：第n场输了，则前n－1场甲未获得连续3次胜利，此时概率为Pn－1； 28 情形二：第n场赢了，第n－1场输了，则前n－2场甲未获得连续3次胜利，此时概率为Pn－2； 情形三：第n场赢了，第n－1场赢了，第n－2场输了，则前n－3场甲未获得连续3次胜利，此时概率为； 由全概率公式得Pn＝(n≥4，n∈N*)；(ⅰ) 因此Pn－1＝Pn－2＋Pn－3＋Pn－4(n≥5，n∈N*)；(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得：Pn－Pn－1＝－Pn－4≤0， 又因为P3＞P4，所以当n≥3，n∈N*时，≤Pn. 2 1 29 $$