培优课4 几类常见的特殊函数-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

培优课4　几类常见的特殊函数 角度1　对勾函数 对勾函数y=x+(t>0)的图象形状像对勾,我们称形如“y=x+(t>0)”的函数为“对勾函数”. 考点一　对勾函数、飘带函数、一次分式函数 对勾函数的图象及性质 [例1]　已知函数f(x)=x+(a>0)在上的最大值比最小值大1,则a=　　　　　 .  4或6+4 [解析]　由对勾函数的性质,可得f上单调递减,在上单调递增. ①当≤2,即0<a≤4时,f上单调递增,f(x)max-f(x)min=f(4)-f(2)=4+-2-=2-=1,解得a=4; ②当≥4,即a≥16时,f上单调递减,f(x)max-f(x)min=f(2)-f(4)=2+-4-=-2=1,解得a=12(舍去); ③当2<<4,即4<a<16时,f在[2,)上单调递减,在(,4]上单调递增,f(x)min=f()=2,f(x)max=f(2)或f(4). 当f(x)max=f(2)时,f(x)max-f(x)min=f(2)-f()=2+-2=1, 解得=2+=2-(舍去),则a=6+4,经验证,符合题意. 当f(x)max=f(4)时,f(x)max-f(x)min=f(4)-f()=4+-2=1, 解得=6或=2,即a=36(舍去)或a=4(舍去). 综上,a的值为4或6+4. 角度2　飘带函数 飘带函数f(x)=ax+(a>0,b<0). [例2]　(多选)已知函数f(x)=x-,下面结论正确的有( 　　) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.方程f(x)=3的解集为{-1,4} D.∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,不等式>0恒成立 ACD [解析]　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=-x-=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以选项A正确,选项B错误;令f(x)=x-=3,得x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4,所以解集为{-1,4},选项C正确;在(0,+∞)内任取x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2)+ =(x1-x2),因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,则f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,不等式>0恒成立,所以选项D正确. 角度3　一次分式函数 把形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数.这类函数的图象一定是双曲线. [例3]　设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1　　　　　　 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 B [解析]　法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数. 法二:选项A,f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数. 方法总结 对于这些函数充分利用它们的图象,数形结合. 跟踪训练 B 已知函数f(x)=(a∈R),方程f(x)=4在[0,+∞)上有两个解x1,x2.记g(a)=|x1-x2|,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的值域是[0,+∞) B.若a=-1,则f(x)的增区间为[-1,0)和[1,+∞) C.若a=4,则g(a)=0 D.函数g(a)的最大值为4 解析：当a=1时,f(x)=,f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x+,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=. 若0<x1<x2<1,0<x1x2<1,则f(x1)>f(x2),若1<x1<x2,x1x2>1,则f(x1)<f(x2),即函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,由偶函数性质知f(x)min=1+=2,故选项A错误; 当a=-1时,f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,当x∈(0,1)时,f(x)=-x+,易知函数f(x)在区间(0,1]上单调递减,当x∈[1,+∞)时,f(x)=x-,易知函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,由偶函数对称性知,函数f(x)的增区间为[-1,0)和[1,+∞),故选项B正确; 若a=4,f(x)=,令f(x)=4,则x1=-2,x2=2,此时g(a)=4,故选项C错误; 若a=0,f(x)=|x|,令f(x)=4时,则x=±4,g(a)=8,此时与函数g(a)的最大值为4矛盾,故选项D错误. 设a,b∈R,则max{a,b}=min{a,b}=设f(x),g(x)都为定义在I上的函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}= G(x)=min{f(x),g(x)}= 考点二　最值函数 C [例4]　已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值,记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(　　) A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16 [解析]　令f(x)=g(x),解得x=a+2,x=a-2,   由图可得A=f(a+2)=-(a+2)2+a2,B=g(a-2)=(a-2)2-a2+8, 所以A-B=-16. 方法总结 通过作图得到最值函数内部包含的两个函数图象,使得最值函数的图象明朗化,max是用上方的部分,min是用下方的部分. 跟踪训练 B 若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为(　　) A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 解析：法一(直接法):当2-x2≥x,即-2≤x≤1时,f(x)=x,此时f(x)max=1; 当2-x2<x,即x>1或x<-2时,f(x)=2-x2,此时f(x)<1. 综上知f(x)max=1. 法二(数形结合法):在同一坐标系中分别画出y=2-x2和y=x的图象,由题意知f(x)的图象为图中实线部分. 由图易知f(x)的最大值为1. 角度1　高斯函数 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数;f(x)=[x]的图象如图所示. 考点三　高斯函数、狄利克雷函数 [例5]　高斯是德国的数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.3]=-3,[3.2]=3,下列命题正确的是　　　　　.  ①[xy]=[x][y]; ②[x+y]=[x]+[y]; ③[x+1]=[x]+1;④[x]+=[2x]. ③④ [解析]　对于①,例如[1.5×1.5]=[2.25]=2,[1.5][1.5]=1×1=1,所以不正确; 对于②,例如[1.5+1.5]=[3]=3,[1.5]+[1.5]=2,所以不正确; 设x=n+r,其中n为x的整数部分,r为小数部分,即[x]=n, 对于③,[x+1]=[n+r+1]=n+1,[x]+1=[n+r]+1=n+1,所以是正确的; 对于④,[x]+=[n+r]+, 若0≤r<,可得[x]+=2n,[2x]=[2n+2r]=2n; 若<r<1,可得[x]+=2n+1,[2x]=[2n+2r]=2n+1,所以④是正确的. 角度2　狄利克雷函数 狄利克雷函数:D(x)= [例6]　(多选)关于函数D(x)=有以下四个命题,其中真命题有(　 　) A.D(x)既不是奇函数也不是偶函数 B.∀r∈Q,D(x+r)=D(x) C.∀x∈R,D(D(x))=1 D.∃x,y∈R,D(x+y)=D(x)+D(y) BCD [解析]　对于A,当x为有理数时,-x为有理数,∴D(-x)=D(x)=1. 当x为无理数时,-x为无理数,∴D(-x)=D(x)=0. 故当x∈R时,D(-x)=D(x),∴函数为偶函数, 若自变量x是有理数,则-x也是有理数,可得D(x)+D(-x)=1+1=2, ∴D(x)不是奇函数,∴A不是真命题; 对于B,∀r∈Q,当x是有理数时,x+r是有理数,D(x+r)=D(x)=1, 当x是无理数时,x+r是无理数,D(x+r)=D(x)=0,∴B是真命题; 对于C,若自变量x是有理数,则D(D(x))=D(1)=1, 若自变量x是无理数,则D(D(x))=D(0)=1, ∴C是真命题; 对于D,当x=是无理数,y=是无理数时,x+y=+是无理数, ∴D(x+y)=0,D(x)+D(y)=0+0=0,满足D(x+y)=D(x)+D(y),∴D是真命题. 跟踪训练 AC 1.(多选)已知函数D(x)=下列说法正确的有(　　) A.D(x+1)=D(x) B.D(D(x))=D(x) C.D(x)是偶函数 D.D(x)的值域为{y|0≤y≤1} 解析： 对于选项A, 当x∈Q时,x+1∈Q,∴D(x+1)=D(x), 当x∈∁RQ时,x+1∈∁RQ, ∴D(x+1)=D(x),故选项A正确; 对于选项B,当x∈∁RQ时,D(x)=0, ∴D(D(x))=D(0)=1≠D(x),故选项B错误; 对于选项C,当x∈Q时,-x∈Q, ∴D(x)=D(-x), 当x∈∁RQ时,-x∈∁RQ,∴D(x)=D(-x),∴D(x)为偶函数,故选项C正确; 对于选项D,由解析式可知D(x)∈{0,1},故选项D错误. 2.高斯是德国的数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,函数g(x)=[f(x)],则g(x)的值域是　　　　　.  {-1,0} 解析:ex>0,∴1+ex>1,∴0<<1,则-<-<,即-<f(x)<, ∴g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0}. C 1.函数f(x)=|x|-(m∈R)的图象不可能是(　　) 培优自我挑战 解析：当m=0时,f(x)=|x|(x≠0),选项A有可能;当m=1时,f(x)=易得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,根据对勾函数图象易得在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增,选项D有可能;当m=-1时,f(x)=易得f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,选项B有可能,所以选项C不可能. 2.(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数D(x)=称为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数L(x)=为“L函数”,则下列结论正确的是(　 　) A.D(D(x))=0 B.函数D(x)既是偶函数又是周期函数 C.L函数图象上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD为矩形 D.L函数图象上存在三个点A,B,C,使得△ABC为等边三角形 BCD 解析：x∈R时,D(x)=为有理数,所以D(D(x))=1,故A错误;因为D(-x)==D(x),所以D(x)为偶函数,对于任意非零有理数T,都有D(x+T)==D(x),故B正确; 若取L函数图象上四个点A(1,1),B(,0),C(-1,-1),D(-,0),因为AC=BD=2,且=,=,即AC,BD互相平分,所以存在矩形ABCD,故C正确; 若取L函数图象上三个点A(3,L(3)),B(3-,L(3-)),C(3+,L(3+)),即A(3,3),B(3-,0),C(3+,0),因为AB=AC=BC=2,所以△ABC为等边三角形,故D正确. 3.若函数h(x)=x+,x∈[1,2],则h(x)的最大值为　　　　　　.  5 解析:由题意知,函数h(x)=x+在[1,2]上单调递减, ∴h(x)min=h(2)=2+2=4,h(x)max=h(1)=5. 4.已知f(x)=2x+-5,x∈[1,3],求函数f(x)的单调区间和值域. 解:f(x)=2x-1+-4,令2x-1=m, ∵1≤x≤3,∴1≤m≤5,则f(x)=k(m)=m+-4, 由对勾函数的性质,可得k(m)在[1,2]上单调递减,在(2,5]上单调递增, ∴f(x)在上是减函数,在上是增函数, f(1)=1,f=0,f(3)=. 综上可得,f(x)的单调递减区间为, 单调递增区间为,值域为. 5.已知函数f(x)=,其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(-1,3)中心对称时,求a的值; 解:f(x)===a+, 所以f(x)的对称中心为(-1,a),与P(-1,3)比较得a=3. (2)若函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解:由f(x)=知x=-1为f(x)的一条渐近线,又f(x)=a+,所以当2-2a>0,即a<1时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减,故a的范围是{a|a<1}. 由题知D(x)= $$