培优课3 嵌套函数零点问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

培优课3　嵌套函数零点问题 形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的函数称为嵌套函数. 嵌套函数零点涉及内外两层函数零点,常采用换元法处理. [例1]　(1)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的所有零点之和 为　　　　　.  考点一　求零点或零点个数 [解析]　令f(t)=0,得t=-1或t=1. 由f(x)=-1,得x+1=-1或log2x=-1,解得x=-2或x=; 由f(x)=1,得x+1=1或log2x=1,解得x=0或x=2. 故所有零点的和为. (2)已知函数f(x)=x2-4,则方程f2(x)-5|f(x)|+4=0的不同实数根有　　个.  7 [解析]　令t=|f(x)|,则t2-5t+4=0,解得t1=1,t2=4. 如图,在同一平面直角坐标系中作出函数t=|f(x)|及t=1,t=4的图象, 由图知,|f(x)|=4有3个不同的实数根, |f(x)|=1有4个不同的实数根. 所以方程f2(x)-5|f(x)|+4=0有7个不同的实数根. 跟踪训练 2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数为　　　　　.  解析:画出函数f(x)的图象,如图所示.   g(x)=f(f(x))-的零点即为方程f(f(x))-=0的解, 令t=f(x),则f(t)-=0,当t>1时,无解, 当0≤t≤1时,sin=,解得t=, 结合图象可知函数g(x)有2个零点. [例2]　设f(x)=x+,若方程f(|2x-1|)+2a·-3=0有3个不同的实数根, 则a的取值范围是　　　　　.  考点二　已知嵌套函数的零点个数求参数范围 [解析]　设t=|2x-1|(x≠0),则原方程化为t2+(2a-3)t+2a+1=0(t≠0). 作出函数t=|2x-1|(x≠0)的图象,设g(t)=t2+(2a-3)t+2a+1, 要使原方程有3个不同的实数根,则方程g(t)=0必有两个根t1,t2, 且满足0<t1<1,t2=1或0<t1<1,t2>1. 当t2=1时,a=,此时t1=,不合题意; 当0<t1<1,t2>1时, 即解得-<a<. 综上,a的取值范围是. 方法总结 求解已知函数模型解决实际问题的关键 1.对于形如y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的嵌套函数范围问题,通常是换元解套,将问题转化为一元二次方程实数根分布问题,然后结合开口方向、端点、对称轴、判别式等建立不等式或不等式组求解.利用数形结合解题时,其关键点、关键线至关重要,若关注不够,易导致错误. 2.对于形如f(g(x))-a=0的方程问题,通常是换元解套,令g(x)=t,则f(t)=a,作出图象,结合图象特征,分析、求解.注意a与t1,t1与x1的对应关系,注意让参数动起来. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有5个零点,则实数a的取 值范围是　　　　　.  解析:令f(x)-a=t,则f(x)=t+a,y=f(t). 先求外层函数的零点,由f(t)=0, 得t1=-,t2=1. 当t1=-时,f(x)=a-;当t2=1时,f(x)=a+1. 如图所示,作y=f(x)和y=a-,y=a+1的图象.要使函数y=f(f(x)-a)有5个零点, 则y=f(x)和y=a-,y=a+1的交点个数分别为3和2, 结合图象,得0<a-≤1,且a+1>1,解得<a≤, 故a的取值范围是. 2.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有8个不同的实数根,求a的取值范围. 解:当a<0时,f(x)的图象如图(a),f(f(x))=0不可能有8个不同的实数根. 当a=0时,f(x)的图象如图(b),f(f(x))=0也不可能有8个不同的实数根.   当a>0时,f(x)的图象如图(c).令t=f(x),由f(t)=0,观察图象易知t=-2a或0或a. 当t=0时,易知方程f(x)=0有3个不同的实数根. 当t=a时,观察易知f(x)的图象与y=a交于两个不同的交点,即方程f(x)=a有2个不同的实数根. 当t=-2a时,方程f(x)=-2a必有8-3-2=3个不同的实数根,即f(x)的图象与y=-2a交于3个不同的交点,所以此时-2a>-,解得a>8. 综上,a>8. 即a的取值范围是(8,+∞). CD 1.(多选)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,正确的是(　　) A.当k>0时,有3个零点 B.当k<0时,有2个零点 C.当k>0时,有4个零点 D.当k<0时,有1个零点 培优 自我挑战 解析:令f(x)=t,由f(f(x))+1=0,得f(t)=-1. 当k>0时,方程f(t)=-1的根为t1=-,t2=, 如图1所示,在同一平面直角坐标系中,作y=f(x)与y=t1,y=t2的图象,分别有2个交点. 当k<0时,若x<0,则kx+1>0, 故方程f(t)=-1的根为. 如图2所示,在同一平面直角坐标系中,作y=f(x)与y=的图象,有1个交点. 2.已知f(x)=那么方程f(f(x))=3的根的个数是　　个.  5 解析:由题意知2f(x)+1=3或|ln f(x)|=3,即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e-3.若f(x)=e3,则2x+1=e3或|ln x|=e3,故x=(舍去)或x=或x=.若f(x)=e-3,则2x+1=e-3或|ln x|=e-3,故x=或x=或x=,故方程f(f(x))=3共有5个解. 3.已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log2x)=3,则方程f(x)=2+的解的个数是　　　　　个.  2 解析:由题意知,f(x)-log2x=a(a为常数),则f(x)=a+log2x,f(a)=a+log2a. 由f(f(x)-log2x)=3,得f(a)=3,所以a=2,故f(x)=2+log2x. 由f(x)=2+,得log2x=, 所以x=. 令t=,则t2=x==2t,而方程t2=2t只有两个正根t=2或t=4, 所以x=4或x=16.故方程f(x)=2+的解的个数是2. 4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实数根,则t的取值范围为　　　　　.  (-∞,-2] 解析:如图,作出y=f(x)的图象. 当m≥1时,m=f(x)有两个根,当m<1时,m=f(x)有一个根. 原问题等价于方程m2+m+t=0在(-∞,1)和[1,+∞)上各有1个根. 当m=1时,t=-2,此时由m2+m-2=0,解得m=1或m=-2,满足条件; 当m≠1时,设h(m)=m2+m+t,则h(1)<0,即1+1+t<0,解得t<-2. 综上,t的取值范围为(-∞,-2]. 5.函数g(x)(x>0)的图象如图所示,关于x的方程[g(x)]2+mg(x)+2m+3=0有三 个不同的实数解,则m的取值范围是　　　 　　.  解析:根据函数g(x)(x>0)的图象,令g(x)=t,因为关于x的方程[g(x)]2+mg(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,所以t2+mt+2m+3=0有两个根,易知0不是该方程的根,所以该方程的根一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上.设h(t)=t2+mt+2m+3,①当h(t)=0的一个根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,得m=-,此时另一个根为,符合题意;②当h(t)=0的根均不为1时,则解得-<m<-. 综上,m的取值范围是. $$