培优课2 类周期函数、倍增(减)函数-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

培优课2　类周期函数、倍增(减)函数 1.函数的值域周期性倍增 若函数满足f(x+a)=Af(x)或f(x-a)=Af(x)(A>0),那么此函数的图象会以T=a,值域每次经过一个T,都会周期性变大A倍. 2.函数的值域周期性倍减 若函数满足f(x+a)=Af(x)或f(x-a)=Af(x)(A<0),那么此函数的图象会以T=a,值域每次经过一个T,都会周期性变大A倍. [例1]　定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,当x∈时,y=f(x)的值域为(　　) A.　　　　　　 B.[0,1] C. D. 考点一　求类周期函数的值域 B [解析]　由函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|, 当x∈[1,2)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-3|); 当x∈[2,3)时,可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-5|);…; 所以在区间[n,n+1)(n∈Z)上,可得f(x)=[1-|2x-(2n+1)|], 作函数y=f(x)的图象,如图所示, 所以当x∈时,f(x)∈[0,1]. [例2]　(1)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,若x∈[-4,-2]时,f(x)≥恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.(-∞,-1]∪(0,3] B.(-∞,-]∪(0,] C.[-1,0)∪[3,+∞) D.[-,0)∪[,+∞) 考点二　根据类周期函数求参数 C [解析]　因为x∈[-4,-2], 所以x+4∈[0,2]. 因为x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x, 所以f(x+4)=(x+4)2-2(x+4)=x2+6x+8. 因为函数f(x)满足f(x+2)=3f(x), 所以f(x+4)=3f(x+2)=9f(x), 所以f(x)=f(x+4)=(x2+6x+8), x∈[-4,-2]. 又因为x∈[-4,-2]时, f(x)≥恒成立, 故≤f(x)min=-, 解不等式可得t≥3或-1≤t<0. (2)已知定义在R上的函数y=f(x),满足f(x)=2f(x+2),当x∈(0,2]时,f(x)=4x(2-x),若方程f(x)=a在区间内有实数解,则实数a的取值范围为 　　　　　.  [解析]　当x∈(2,4]时,则x-2∈(0,2], 所以f(x-2)=4(x-2)(4-x)=2f(x), 即f(x)=2(x-2)(4-x), 当x∈(4,6]时,则x-2∈(2,4], 所以f(x-2)=2(x-4)(6-x)=2f(x), 即f(x)=(x-4)(6-x), 则f=×=, 当x∈(6,8]时,则x-2∈(4,6], 所以f(x-2)=(x-6)(8-x)=2f(x), 即f(x)=(x-6)(8-x), 画出f(x)的图象如图所示. 由图象可知,当a∈时,方程f(x)=a在区间内有实数解, 所以实数a的取值范围为. 方法总结 类周期函数常与函数值域的倍增或倍减结合,关键清楚随周期的变化,函数值是变大还是变小,画出模拟图象求解. 跟踪训练 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x+2)=3f(x),且当x∈[0,2) 时,f(x)=x(2-x),则函数y=f(x)- 在(-4,4) 上的零点个数为(　　) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 C 解析:设x∈[2,4),则x-2∈[0,2).因为x∈[0,2)时,f(x)=x(2-x),所以f(x-2)= (x-2)(4-x).因为f(x+2)=3f(x),所以当x∈[2,4)时,f(x)=3(x-2)(4-x). 同理可得,当x∈[-2,0)时, f(x)=-x(x+2); 当x∈(-4,-2)时,f(x)=-(x+2)(x+4)=-(x2+6x+8), 此时最大值为x=-3时,f(x)=. 因为函数y=f(x)- 在(-4,4) 上的零点个数等价于直线y=与函数y=f(x) 在(-4,4)上的图象的交点的个数, 结合f(x)的图象(如图), 直线y=与函数y=f(x)在(-4,4)上的图象有7个交点,即函数y=f(x)-在(-4,4)上有7个零点. 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-2f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=2x,则在区间(4,6]上满足f(x)=f(3)+12的实数x的值为(　　) A.6　　　　　　　　　 B.5 C. D.log221 培优自我挑战 B 解析:∵f(x+2)=-2f(x), ∴f(x)=-2f(x-2), ∴当x∈(2,4]时,x-2∈(0,2], ∴f(x)=-2f(x-2)=-2×2x-2=-2x-1, ∴f(3)=-23-1=-4, ∴当x∈(4,6]时,x-2∈(2,4],∴f(x)=-2f(x-2)=-2×(-2x-2-1)=2x-2, 由2x-2=-4+12得,x=5. 2.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. B 解析:∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),即f(x)右移1个单位长度,图象变为原来的2倍. 如图所示,当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-,解得x1=,x2=, ∴要使对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m≤,∴m∈ 3.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=3f(x),且当x∈(0,2]时,f(x)=x(x-2).则方程f(x)=-3在(-∞,10]上的所有实根之和为　　　　　　.  45 解析:由题可知f(x+2)=3f(x)⇒f(x+4)=3f(x+2)=32f(x)⇒f(x+6)=3f(x+4)=33f(x), 则可得一般规律:f(x+2n)=3nf(x),可画出大致函数图象,如图. 由图可知,方程f(x)=-3在(-∞,10]上共有7个实根,其中x1∈(2,4),x1=3, x2,x3∈(4,6),x2+x3=10, x4,x5∈(6,8),x4+x5=14, x6,x7∈(8,10),x6+x7=18, ∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=45. $$