培优课1 三类典型的不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

培优课1　三类典型的不等式 1.二维形式 对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 2.一般形式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(+++…+)·(+++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,…,n)时,等号成立. 考点一　柯西不等式 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立). 4.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)·≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立). [例1]　(1)已知x+y=1,2x2+3y2的最小值为　　　　　;  [解析]由柯西不等式(2x2+3y2)·≥=(x+y)2=1,所以2x2+3y2≥,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立,所以2x2+3y2的最小值为. (2)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值 为　　　　　;  [解析]由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21,当且仅当a=b=c=时,等号成立,故++. (3)若++…+=1,++…+=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为　　　　　.  2 [解析] (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(++…+)·(++…+)=4, 所以a1b1+a2b2+…+anbn≤2. 跟踪训练 1.若a2+b2=1,x2+y2=2,则ax+by的最大值为　　　　　.  解析:∵(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=2,∴ax+by≤. 2.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则p=2x+y的最大值为　　　　　.  解析:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11,于是2x+y≤ . 1.二维形式:已知x,y,a,b∈R+,则有+≥(当且仅当x∶y=∶时,等号成立). 2.一般形式:设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),实数m>0,则≥,当且仅当==…=时等号成立.称之为权方和不等式. 考点二　权方和不等式 [例2]　(1)(2025·浙江杭州期末)设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为 (　　) A.12　　　　　　　　　 B.24 C.2 D.4 B [解析]　因为实数x,y满足x>,y>3,所以x->0,y-3>0. 由题意知k≤, 因为=+≥=(2x+y-6)++12≥2+12=24, 当且仅当 即时,等号成立,所以k≤24, 即实数k的最大值为24. (2)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则++的最小值为　　　　　.  [解析]　++≥=, 当且仅当==, 即x=y=z=时,等号成立. 方法总结 1.权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键. 2.关于齐次分式,将分子变为平方式,再用权方和不等式. 3.关于带根号的式子,将分子变为次,分母变为次. 跟踪训练 1.已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则++的最小值为 (　　) A.1　　　　　　　　　 B.3 C.6 D.9 D 解析:∵a+b+c=1,∴++=2≥=9,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 2.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为　　　　　.  27 解析:+=+≥=27,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立. 1.琴生不等式 若f(x)是区间[a,b]上的下凸函数,则对任意的x1,x2,x3,…,xn∈[a,b],有不等式≥f, 当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立. 考点三　琴生不等式 注:如果函数f(x)在区间I上二阶可导, 则f(x)在区间I上凸函数的充要条件是f″(x)≤0 则f(x)在区间I上凹函数的充要条件是f″(x)≥0. 2.f(x)在区间I上连续,对I上任意两点x1,x2,如果f(x)在区间I是下凸函数,恒有f≤; 如果f(x)在区间I是上凸函数,恒有f≥. 当且仅当x1=x2时等号成立. 3.加权琴生不等式的二维形式 在区间I上连续,对I上任意两点x1,x2,且λ1+λ2=1,λ1,λ2为正实数.(1)如果f(x)在区间I上是下凸函数,恒有f(λ1x1+λ2x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2); (2)如果f(x)在区间I上是上凸函数,恒有f(λ1x1+λ2x2)≥λ1f(x1)+λ2f(x2). 当且仅当x1=x2时等号成立. [例3]　(1)若函数f(x)的导函数f'(x)存在导数,记f'(x)的导数为f″(x).若对∀x∈(a,b),都有f″(x)<0,则f(x)有如下性质: f≥,其中n∈N*,x1,x2,…,xn∈(a,b).若f(x) =sin x,则在锐角△ABC中,根据上述性质推断:sin A+sin B+sin C的最大 值为　　　　　.  [解析]　f(x)=sin x,则f'(x)=cos x, f″(x)=-sin x. 在锐角△ABC中,A,B,C∈, 则f″(x)=-sin x<0, ∴≤sin=sin=, ∴sin A+sin B+sin C的最大值为. (2)半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　.  R2 [解析]　设☉O的内接三角形为△ABC, 显然当△ABC是锐角或直角三角形时,面积可以取最大值(因为若△ABC是钝角三角形,可将钝角(不妨设为A)所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B'C'.因此,S△AB'C'>S△ABC.不合题意). 下面设∠AOB=2α,∠BOC=2β,∠COA=2γ,α+β+γ=π. 则S△ABC=R2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 由讨论知可设0<α,β,γ<,而y=sin x在(0,π)上是上凸函数. 则由琴生不等式知≤sin=. 所以S△ABC≤R2×3×=R2. 当且仅当△ABC是正三角形时,上式等号成立. (2025·北京模拟)已知正实数a,b满足a+b=1,求的最小值 为　　　　　.  跟踪训练 解析:设f(x)=ln,0<x<1, 则f'(x)=, 从而f″(x)=>0,故f(x)在(0,1)下凸, 因此≥f, 即≥, 当且仅当a=b=时,等号成立,所以. 1.若实数x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为(　　) A.14　　　　　　　　　 B. C.29 D. 解析:根据柯西不等式得(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1,即x2+y2+z2≥,当且仅当x=,y=,z=时,等号成立. 培优 自我挑战 B 2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y>0,则+≥,当且仅当=时等号成立.根据权方和不等式,函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 B 解析:因为a,b,x,y>0,则+≥, 当且仅当=时,等号成立. 又0<x<,即1-2x>0, 于是得f(x)=+≥=25,当且仅当=,即x=时,等号成立, 所以函数f(x)=+的最小值为25. 3.实数x,y满足3x2+4y2=12,则z=2x+y的最小值是(　　) A.-5 B.-6 C.3 D.4 A 解析:∵实数x,y满足3x2+4y2=12, ∴+=1, ∴(16+9)≥(2x+y)2, 即-5≤2x+y≤5, 当且仅当3x=8y, 即时,左边取等号, 当时,右边取等号, ∴z=2x+y的最小值是-5. C 4.在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos x这四个函数中,当0<x1<x2<1时,使f>恒成立的函数的个数是(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:由f>知f(x)为上凸函数,只有y=log2x和y=cos x两个函数符合. +2 5.若x>0,y>0,+=2,则6x+5y的最小值为　　　　　.  解析:+=+=+≥=, 即2≥,因为x>0,y>0, 则6x+5y≥+2, 当且仅当=, 即x=,y=时,等号成立. $$