第7章 提升课10 与球有关的切、接、截问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

提升课10　与球有关的切、接、截问题 第七章 立体几何与空间向量 内容索引 课时作业　巩固提升 2 角度1　多面体的外接球 [例1]　(1)(2025·湖南邵阳模拟)已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面 ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为(　　) A.　　　　　　　 B. C.10π D.5π B 考点一　空间几何体的外接球 3 [解析]　因为在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2， 设底面△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R， 由正弦定理得2r＝，可得r＝， 所以R＝，则外接球 的表面积为S＝4πR2＝4π×π. 考点一　空间几何体的外接球 4 (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π A 考点一　空间几何体的外接球 5 [解析]　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R， 当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π. 考点一　空间几何体的外接球 6 1.棱柱、棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上；而棱锥的外接球的球心在高线所在直线上. 2.补形法适用的四种常见三棱锥： ①墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)； ②鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)； 方法总结 ③共直角边模型——两个共直角边的直角三角形组成的三棱锥，如 图(3)； ④对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(4). 方法总结 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝；正四面体的外接球的半径R＝a(a为该正四面体的棱长). 方法总结 角度2　旋转体的外接球 [例2]　(1)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是(　　) A. B. C. D. [解析]　设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，则h＝2r，设球O的半径为R，则由已知条件可得R＝r，设圆柱的体积为V1，球的体积V2，由圆柱的体积公式可得V1＝πr2·h＝2πr3，由球的体积公式可得V2＝πR3＝πr3，则. D 考点一　空间几何体的外接球 10 (2)已知圆锥底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O 的表面上，则球O的表面积为(　　) A.100π B.40π C. D. [解析]　设圆锥的高为h，因为圆锥的体积为3π，所以π×32×h＝3π，解得h＝1， 设圆锥的外接球的半径为R，可得R2＝r2＋(R－h)2，即R2＝32＋(R－1)2，解得R＝5，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π. A 考点一　空间几何体的外接球 11 圆柱、圆台的外接球常称为“汉堡型”，球心在上下底面中心的连线上，圆锥的外接球的球心在其高线所在直线上. 方法总结 1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3， AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B.2 C. D.3 C 跟踪训练 解析：由题意作图如图，过球心O作平面ABC的 垂线，则垂足为BC的中点M. ∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， ∴球O的半径R＝OA＝. 跟踪训练 2.(2025·江苏扬州模拟)已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的 外接球表面积为(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：根据题意，设圆锥外接球的半径为R，则有R2＝1＋(2－R)2，解得R＝， 则该圆锥的外接球表面积S＝4πR2＝. C 跟踪训练 角度1　多面体的内切球 [例3]　(1)(一题多解)在正三棱锥A－BCD中，侧面与底面所成二面角的 正切值为，BC＝6，则这个三棱锥的内切球半径为(　　) A.1 B. C.2 D. A 思路1：利用分割图形V三棱锥＝S表·r，r为内切球半径. 思路2：内切球的大圆与二面角的平面两两相切. 考点二　空间几何体的内切球 16 [解析]　法一：取CD的中点M，连接AM，BM，如图①所示，取截面ABM，作AH⊥BM交BM于点H，如图②所示. 易得BM＝3，MH＝，由AM⊥CD，BM⊥CD，则∠AMB为侧面与底面所成二面角， 考点二　空间几何体的内切球 17 且∠AMB的正切值为，故AH＝3，AM＝2，VA－BCD＝S△BCD·AH＝×9×3＝9， S表＝S△BCD＋3S侧＝×62＋3×＝9＋3×6＝27，设三棱锥内切球半径为r， VA－BCD＝S表·r，故r＝1. 考点二　空间几何体的内切球 18 法二：研究截面ABM，设内切球球心为O，半径为r，作OE⊥AM交AM于点E，如图③所示，则OH＝OE＝r，由Rt△AEO∽Rt△AHM，得，即，则r＝1. 考点二　空间几何体的内切球 19 (2)(2025·浙江宁波模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1 ＝2，AA1＝，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA均 相切，则球O的表面积为(　　) A.9π B.16π C.25π D.36π C 考点二　空间几何体的内切球 20 [解析]　设棱台上、下底面的中心为N，M，连接D1B1，DB，则D1B1＝2，DB＝4， 所以棱台的高MN＝＝1， 设球半径为R，根据正四棱台的结构特征可知：球O与上底面A1B1C1D1相切于点N，与棱AB，BC，CD，DA均相切于各边中 点，设BC的中点为E，连接OE，OM，ME， 所以OE2＝OM2＋ME2⇒R2＝|R－1|2＋22，解得R＝， 所以球O的表面积为4πR2＝25π. 考点二　空间几何体的内切球 21 多面体内切球的球心与半径的确定 1.(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. (4)体积分割是求内切球半径的通用方法. 2.正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长). 方法总结 角度2　旋转体的内切球 [例4]　(1)(2025·陕西西安模拟)已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角， 半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为(　　) A.13π B.π C.π D.π D 考点二　空间几何体的内切球 [解析]　侧面展开图扇形的弧长为2×＝π，圆锥底边的半径r满足2πr＝π，解得r＝， 所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，由等面积法可得R(1＋2＋2)＝1×，则R＝，所以内切球的表面积为4πR2＝π. 考点二　空间几何体的内切球 (2)如图，若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2， 且r1r2＝3，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底 面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积 为(　　) A.π B.12π C.9π D.12π B 考点二　空间几何体的内切球 [解析]　设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2， 则圆台内切球球心O一定在O1O2中点处， 设球O与母线AB切于点M， ∴OM⊥AB，∴OM＝OO1＝OO2＝R(R为球O的半径)， ∴△AOO1≌△AOM，∴AM＝r1，同理BM＝r2， ∴AB＝r1＋r2，∴O1＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝4r1r2＝12，∴O1O2＝2，∴圆台的内切球半径R＝，∴内切球的表面积4πR2＝12π. 考点二　空间几何体的内切球 旋转体与球相切时，主要是作旋转体的轴截面，转换为三角形、正方形与等腰梯形的内切圆问题，且球心到切点的距离相等为半径. 方法总结 (2025·安徽安庆模拟)已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球 与内切球的表面积之比为(　　) A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.8∶1 解析：如图，等边三角形PAB的内切圆和外接圆 的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和 外接球的半径分别为r和R，则＝sin，所以 其外接球与内切球的表面积之比为＝4∶1. A 跟踪训练 [例5]　(2025·陕西西安模拟)已知在四面体ABCD中，AB⊥AC， AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝AC＝AD＝2，球心在该四面体内部的球与这 个四面体的各棱均相切，则球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π B 考点三　棱切球 29 [解析]　如图，O1是△BCD的中心， 根据对称性，球心O在AO1上，球O与BC，AB的切点分别为M，N，且OM⊥BC，ON⊥AB，OM＝ON为球的半径.由勾股定理易得BC＝2，AO1＝，由正弦定理可求得BO1＝.∵BM，BN均为球O的切线，∴BN＝BM＝. ∵△ANO与△AO1B相似，∴，即 ，∴ON＝2(－1)， ∴球的体积为ππ. 考点三　棱切球 30 正方体的棱切球可以转化为对角面的内切圆；正四面体的棱切球可以转化为棱长为面对角线的正方体的内切球等问题解决. 方法总结 (2025·江西南昌模拟)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为(　　) A.4π B.2π C. D.π 解析：如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长 为2的正四面体ABCD， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球 的半径r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π. A 跟踪训练 课时作业　巩固提升 33 1.正方体的外接球与内切球的表面积比值为(　　) A.　　　　　　　 B.3 C.3 D. 解析：设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝，所以， 所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 34 2.(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两 个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(　　) A.4π B.6π C.8π D.10π 解析：由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r， 则r＝，故该球的表面积为4πr2＝8π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 35 3.(2025·浙江杭州期中)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同 一球面上，则此球的体积为(　　) A. B.π C. D.π 解析：因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正 方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为1，外接球半径为，所以V＝πR3 ＝π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 36 4.(2025·山东青岛调研)一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧 棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48， 则球的表面积为(　　) A.16π B.4π C.8π D.32π 解析：由题意，设正三棱柱的底面边长为a，则其内切球的半径r＝a＝a， 所以正三棱柱的高h＝2r＝a.棱柱的体积V＝a2·h＝a2·a＝＝48，得a＝4，所以球的表面积S＝4πr2＝4π·a2＝16π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 37 5.(2025·河北石家庄模拟)已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切， 若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 38 解析：设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2， 由于BE＝O1B＝r1，CE＝O2C＝r2， 则圆台的高、母线长分别为2R，r1＋r2， 设内切球的表面积为S1，圆台表面积为S2， 由表面积公式知 ， 设内切球的体积为V1，圆台的体积为V2， ∴. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 39 6.(多选)已知三棱锥P－ABC的底面ABC是直角三角形，PA⊥平面ABC， PA＝AB＝AC＝2，则(　　) A.三棱锥P－ABC外接球的表面积为12π B.三棱锥P－ABC外接球的表面积为48π C.三棱锥P－ABC内切球的半径为 D.三棱锥P－ABC内切球的半径为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC A组　基础保分练 40 解析：由题意可知AB，AC，AP两两垂直，则三棱锥P－ABC外接球的半径R满足(2R)2＝AB2＋AC2＋AP2＝12，从而三棱锥P－ABC外接球的表面积为4πR2＝12π，故A正确，B错误. 由题意可得三棱锥P－ABC的体积V＝×2×2×2＝，三棱锥P－ABC的表面积S＝×2×2×3＋×(2)2＝6＋2.设三棱锥P－ABC内切球的半径为r，因为V＝Sr，所以r＝，则C正确，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 41 7.(多选)(2025·河南信阳模拟)六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示， 硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点， 若相邻两个氟原子之间的距离为m，则(　 　) A.该正八面体结构的表面积为2m2 B.该正八面体结构的体积为m3 C.该正八面体结构的外接球表面积为2πm2 D.该正八面体结构的内切球表面积为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ACD A组　基础保分练 42 解析：对于A，由题知，各侧面均为边长为 m的正三角形， 故该正八面体结构的表面积S＝8××m2＝ 2m2，故A正确； 对于B，连接AS，PS，则AS＝PS＝m，PS⊥底面ABCD， 故该正八面体结构的体积V＝2××m2×m＝m3，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 43 对于C，底面中心S到各顶点的距离相等， 故S为外接球球心，外接球半径R＝PS＝m， 故该正八面体结构的外接球表面积S'＝4π ×＝2πm2，故C正确； 对于D，该正八面体结构的内切球半径r＝， 故内切球的表面积S″＝4π×，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 44 8.(2025·山东济宁模拟)若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为___________.  解析：设正四棱柱的底面正方形的边长为a(a＞0)，则2a2＋4a·2＝2a2＋8a＝64，解得a＝4或a＝－8(舍去)，而正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，所以该正四棱柱的外接球的半径为R＝＝3，所以该正四棱柱的外接球的体积为V＝πR3＝π×33＝36π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 36π A组　基础保分练 45 9.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB， C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有___________个公共点.  解析：∵EF为球的直径，由正方体及球的对称性知，此球的球心为正方体的中心O.设正方体的棱长为2，则OF＝OE＝EF＝C1B＝，∴点O到正方体各棱的中点的距离均为，且正方体各面与球的交线均为圆，此圆即为正方体各面的内切圆，∴球的球面与该正方体各棱的公共点共有12个. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 12 A组　基础保分练 46 10.如图所示，已知正三棱柱侧面均与球相切，底面边长为30，此时球的表面积为___________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 300π A组　基础保分练 47 解析：过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图，则BM＝BC＝15，∠OBM＝，可得OM＝BM·tan∠OBM＝15×＝5，即球的半径R＝OM＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝300π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 48 11.(2025·湖北武汉模拟)在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个 半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为_____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (96－64)π A组　基础保分练 49 解析：当两个小球的表面积之和最大时两小球相切， 且两小球均与半球形封闭容器相切，此时设两小球的 球心分别为O1，O2，半球形封闭容器的底面圆心为O， 作出过O1，O2，O的截面如图所示，连接OO1并延长，交半圆于点A， 则A为圆O1与半圆的切点，设两个小球的半径为r，得O1O＝r，所以r＋r＝2，解得r＝2(－1)，所以这两个小球的表面积之和的最大值为2×4×4π＝(96－64)π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 50 12.(2025·重庆模拟)已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为___________.  解析：设正三棱柱的底面棱长为a，高为h，内切球的半径为R， 依题意4πR2＝4π，解得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2R＝2，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为a＝a，由题意R＝a＝1，所以a＝2， 所以正三棱柱的体积V＝×a×a×h＝×2×2×2＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 6 A组　基础保分练 51 13.(2025·广东汕头模拟)在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆 心角为，则该圆锥的外接球的表面积为(　　) A.32π B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 52 解析：设圆锥底面圆半径为r，依题意，2πr＝×4， 解得r＝1， 圆锥的高PO＝，显然圆 锥PO的外接球的球心O1在线段PO上，设球O1的半径 为R，OO1＝x.连接AO1，则由R＝PO1＝AO1，得 －x＝，解得x＝，即R＝－x＝， 所以该圆锥的外接球的表面积S'＝4πR2＝4π×. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 53 14.(2025·陕西铜川模拟)如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD， EF＝4，则该木楔子的外接球的表面积为___________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16π B组　能力提升练 54 解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH， 则EG＝＝1，故AG＝. 取AD的中点O'，连接GO'， 又AG＝GD，∴GO'⊥AD， 则GO'＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 55 由对称性易知，过正方形ABCD的中心O1且垂直于 平面ABCD的直线必过线段EF的中点O2，且所求 外接球的球心O在这条直线上，如图.设球O的半径 为R，则R2＝O＋A，且R2＝O＋E，从而 O＝O＋2，即(OO1＋OO2)(OO1－OO2)＝2， 当点O在线段O1O2内(包括端点)时，有OO1＋OO2＝ GO'＝，可得OO1－OO2＝， 从而OO1＝，即球心O在线段EF的中点，其半径R＝2. 当点O在线段O1O2外时，O1O2＝＝O＋2，解得OO2＝0(舍). 故所求外接球的表面积为4πR2＝16π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 56 15.已知棱长相等的正三棱锥P－ABC底面的三个顶点A，B，C均在以O为球心的球面上(其中O为△ABC的中心)，球面与棱PA，PB，PC分别交于点A1，B1，C1.若球O的表面积为12π，则多面体A1B1C1－ABC的体积 为___________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 57 解析：设球O的半径为R，由4πR2＝12π，得R＝，依题意，三棱锥P－ABC为正四面体，且AO＝R，设正四面体的棱长为a.在等边三角形ABC中， 由正弦定理可得＝2R，即＝2，解得a＝3. 因为PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，所以PO⊥AO， 所以PO＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 58 作OH⊥PA，垂足为H， 在Rt△PAO中，由OH·PA＝PO·AO， 得OH＝， 所以在Rt△AHO中，AH＝ ＝1.因为OA＝OA1＝R，OH⊥PA， 所以H为线段AA1的中点，所以AA1＝2AH＝2， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 59 所以PA1＝1，依题意，多面体A1B1C1－ABC为正 三棱台，所以，即 VP－ABC. 又VP－ABC＝S△ABC·PO＝×9×， 所以正三棱台A1B1C1－ABC的体积为VP－ABC－VP－ABC＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 60 $$