第4章 第8节 第2课时 三角形中的高线、中线、角平分线问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第二课时　三角形中的高线、中线、角平分线问题 第四章　三角函数、解三角形 1 1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.　 2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题. 学习要求 2 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 关键能力　重点探究 4 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； [解]　∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， 考点一　三角形中的高线 5 ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，∴0＜A＜， ∴sin A＝. 考点一　三角形中的高线 6 (2)设AB＝5，求AB边上的高. [解]　由(1)知，cos A＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 由正弦定理，可得b＝＝2，设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 考点一　三角形中的高线 7 1.若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝ . 2.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度. 方法总结 8 在△ABC中，内角A，B，C满足sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C. (1)求A； 解：因为sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C， 令△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 所以由正弦定理可得a2＝b2＋c2－bc， 所以由余弦定理可得cos A＝， 因为A∈，所以A＝. 跟踪训练 9 (2)若AB边上的高等于AB，求cos C. 解：由三角形的面积公式可得 S△ABC＝absin C＝×c2， 则c2＝3absin C， 由正弦定理可得sin2C＝3sin Asin Bsin C， 因为C∈，则sin C＞0，所以sin C＝3sin Asin B，即sin C＝ sin B， 跟踪训练 10 即sin C＝sinsin C＋cos C，整理可得sin C＝－3cos C， 所以， 解得cos C＝－. 跟踪训练 11 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； [解]　法一：在△ABC中，因为D为BC中点， ∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a× a＝S△ABC＝，解得a＝4， 考点二　三角形中的中线 12 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝， sin B＝＝ ， 所以tan B＝. 考点二　三角形中的中线 13 法二：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC ＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a× a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADB， 考点二　三角形中的中线 14 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝， 有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝， C＝，过A作AE⊥BC于E，于是CE＝ACcosC＝，AE＝ACsin C＝，BE＝， 所以tan B＝. 考点二　三角形中的中线 15 (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [解]　法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 考点二　三角形中的中线 16 法二：在△ABC中，因为D为BC中点，则2，又， 于是4＝()2＋()2＝ 2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 考点二　三角形中的中线 17 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.向量法：()，(b2＋c2＋2bc·cos∠BAC). 方法总结 18 (2025·江苏南京期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b＝5，c＝3，b＝acos C－. (1)求A； 解：由正弦定理及b＝acos C－， 可得sin B＝sin Acos C－， 又B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以cos Asin C＝－，又sin C≠0，则有cos A＝－， 又0＜A＜π，所以A＝. 跟踪训练 19 (2)若D是BC中点，求AD的长度. 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋9＋15＝49，所以a＝7， 又D是BC中点，所以CD＝， 又cos C＝， 在△ACD中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝25＋－2×5××， 故AD＝. 跟踪训练 20 [例3]　已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2bcos A－a. (1)求B； [解]　由2c＝2bcos A－a及正弦定理可得2sin C＝2sin Bcos A－sin A， 所以2sin (A＋B)＝2sin Bcos A－sin A，即2sin Acos B＋2cos Asin B＝2sin Bcos A－sin A， 所以2sin Acos B＝－sin A， 又因为sin A＞0，所以cos B＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 考点三　三角形中的角平分线 21 (2)若BD是角B的平分线，AD＝4，CD＝2，求线段BD的长. [解]　由角平分线定理可知，＝2， 设BC＝x，则AB＝2x， 在△ABC中，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC， 所以(6)2＝4x2＋x2－2·2x·x·⇒x＝6， 所以a＝BC＝6，c＝AB＝12，b＝AC＝6， 考点三　三角形中的角平分线 22 所以cos C＝， 在△BCD中，由余弦定理可得，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos C＝28＋36－2×2×6×＝16， 所以BD＝4. 考点三　三角形中的角平分线 23 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B， C所对的边分别为a，b，c. 1.利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2.内角平分线定理：AD为△ABC的∠BAC的平分线， 则. 推导过程：在△ABD中，， 在△ACD中，，所以， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即. 方法总结 24 3.等面积法： 因为， 所以c·ADsinb·ADsinbcsin A， 所以(b＋c)AD＝2bccos， 整理得AD＝(角平分线长公式). 方法总结 25 (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC 的角平分线交BC于D，则AD＝________.  解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a. 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6， 因为b＞0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝2. 2 跟踪训练 26 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝ 6，因为b＞0，解得b＝1＋， 由正弦定理可得，，解得sin B ＝，sin C＝， 因为1＋，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 跟踪训练 27 课时作业　巩固提升 28 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7， ∠ABC＝120°，BD为∠ABC的角平分线，sin∠BAC ＝，则BD＝(　　) A.6　　 B.8　　　 C.7　　 D.9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 29 解析：因为BD为∠ABC的角平分线，所以∠ABD＝60°，因为∠ABC＝120°，所以∠BAC为锐角， 所以cos∠BAC＝， 所以sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠DAC) ＝sin∠BAC·cos∠DAC＋cos∠BAC·sin∠DAC ＝××， 由正弦定理可知， 即BD＝sin∠BAD××＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 30 2.如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，点D为BC的中点，AD＝1，B＝，且 △ABC的面积为，则c＝(　　) A. B.1 C.2 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 31 解析：∵B＝，∴在△ABD中，由余弦定理得 c2＋－2c×cos ＝1，即a2＋4c2－2ac＝4， 又acsin B＝ac＝， 解得ac＝2①， ∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0， ∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②， 将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 32 3.在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB＝2sin C，BC＝6，AB＝4， 则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.2 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 33 解析：在△ABD中，由正弦定理可得， 在△ABC中，， 两式相比可得， 因为3sin∠ADB＝2sin C， 所以，设AC＝2k，AD＝3k， 由余弦定理的推论可得cos B＝ ，又因为BC＝6，AB＝4， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 34 D为BC的中点，所以BD＝3， 即，解得k2＝1， 所以cos B＝，可得sin B＝， 所以AB·BC·sin B＝×4×6×＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 35 4.(2025·江苏苏州模拟)已知△ABC的角A，B，C对应的边分别为a，b， c，∠BAC＝，∠BAC的平分线交边BC于点D，若AD＝，则b＋2c的 最小值为(　　) A.2＋2 B.4 C.3＋2 D.3＋2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 36 解析：根据题意得∠BAD＝∠DAC＝，AD＝， 可得S△ABD＝AB·ADsinc，S△ACD＝AC·ADsinb， 因为S△ABC＝AB·ACsinbc， 所以S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，可得b＋c＝bc，整理得bc＝b＋c，即＝1， 所以b＋2c＝(b＋2c)＝3＋≥3＋2＝3＋2. 当且仅当，即b＝＋1，c＝1＋时，b＋2c取得最小值3＋2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 37 5.(2025·河北石家庄调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH 的长等于(　　) A. B. C.2 D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 38 解析：由题意知，设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α，如图所示， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得×3×2sin 2α＝×3×sin α＋×2×sin α， 整理得3sin 2α＝2sin α，即sin α(3cos α－)＝0， 又因为sin α≠0，所以cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝，所以sin 2α＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 39 在△ABC中，由余弦定理得a2＝32＋22－2×3× 2cos 2α＝13－4＝9，所以a＝3， 由S△ABC＝bcsin 2α＝a·AH可得×3×2× ×3AH，解得AH＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 40 6.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC ＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， 则∠APB的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 41 解析：因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得 BC＝ ＝， 因为()，所以 ||＝ ＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 42 由余弦定理的推论可得 cos∠ABC＝＝－()， 可得 ||＝ ＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 43 由重心的性质可得AP＝AM＝， BP＝BN＝， 在△APB中，由余弦定理的推论可得 cos∠APB＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 44 7.(多选)(2025·江苏泰州模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b， c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24， 下列选项正确的是(　 　) A.若A＝，则S＝3 B.S的最大值为3 C.AM＝3 D.角A的最小值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ABC A组　基础保分练 45 解析：选项A，若A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得12＝24－bc，所以bc＝12， 则三角形面积S＝bcsin A＝×12×＝3，A正确； 选项B，由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12， 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 由余弦定理可得cos A＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 46 则S＝bcsin A＝bc＝3，B正确； 选项C，因为BC边上的中点为M，所以()， 而a2＝b2＋c2－2bccos A， 即12＝24－2bccos A，则bccos A＝6， 所以|| ＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 47 ＝ ＝＝3，C正确； 选项D，因为24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12， 所以由余弦定理得cos A＝≥， 又0＜A＜π，且函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以0＜A≤，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 48 8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝，BC边 上的高等于a，则△ABC的面积是__________，sin A＝__________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 　 A组　基础保分练 49 解析：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D， 则AD＝a，又B＝，c＝， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2， 即a2＋a2＝2，解得a＝3， 所以S△ABC＝AB·BC·sin∠ABD＝××3×， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝， 由正弦定理，，即，可得sin A＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 50 9.(2025·广东深圳模拟)已知在△ABC中，AB＝2BC＝2，AB边上的高与 AC边上的中线相等，则tan B＝__________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 － A组　基础保分练 51 解析：如图所示，设AB边上的高为CE，AC边上的中线为BF， 在Rt△BCE中，CE＝BCsin∠ABC＝sin∠ABC，所以BF＝CE＝sin∠ABC， 由，平方得， 代入得，4＝4＋2×2×1×cos∠ABC＋1， 化简得，4cos2∠ABC＋4cos∠ABC＋1＝0，解得 cos∠ABC＝－， 又因为0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝， 所以tan∠ABC＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 52 10.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：因为，由正弦定理得，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac， 又由余弦定理的推论得cos B＝. 因为B∈，所以B＝. A组　基础保分练 53 (2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：如图所示，因为， 所以S△ABC＝BD·csin BD·asin (a＋c). 又因为S△ABC＝acsin ac， 所以(a＋c)＝ac. A组　基础保分练 54 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－3ac＝6， 联立方程组 可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0， 解得ac＝2或ac＝－1(舍去)， 所以acsin B＝ac＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 55 11.(2025·江苏镇江月考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B＋C)＝2sin2. (1)求A； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：因为A，B，C为△ABC的内角， 所以sin (B＋C)＝sin A， 因为sin2， 所以sin(B＋C)＝2sin2可化为sin A＝(1－cos A)， A组　基础保分练 56 即sin A＋cos A＝， 即2， 即2sin， 因为0＜A＜π，A＋∈， 所以A＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 57 (2)若b＝3，BC边上的高为，求△ABC的周长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由三角形面积公式得bcsin A＝×a，所以a＝c， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得c2＋4c－12＝0， 解得c＝2或c＝－6(舍去)，则a＝， 所以△ABC的周长为5＋. A组　基础保分练 58 12.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC ＝__________，cos∠MAC＝__________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 2　 B组　能力提升练 59 解析：由题意作出图形，如图，在△ABM中，由余弦定理得 AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B，即12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4(负值舍去)，所以BC＝2BM＝2CM＝8，在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝4＋64－2×2 ×8×＝52，所以AC＝2； 在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 60 13.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，4cos C＝b－csin A. (1)求A； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：根据题意可得acos C＋csin A＝b， 由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B， 又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 故sin Asin C＝cos Asin C， 又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. B组　能力提升练 61 (2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长. 解：因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 所以bcsin∠BAC＝AM·c·sin∠BAM＋ AM·b·sin∠CAM， 又AM平分∠BAC， 所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 62 所以bc××c××b×， 则bc＝(b＋c)，即bc＝(b＋c). 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即16＝b2＋c2－bc， 所以16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)，解得b＋c＝2(负值舍去)， 故△ABC的周长为2＋4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 63 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点D是边BC上一点，且AD⊥AB，cos∠CAD＝＝2. (1)求△BCE的面积； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：∵＝2，∴S△BCE＝S△ABC， 而S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×6×6×sin ＝18cos∠CAD＝18×＝12， ∴S△BCE＝S△ABC＝4. B组　能力提升练 64 (2)求线段AD的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：法一：∵cos∠CAD＝，∠CAD∈(0，π)， ∴sin∠CAD＝， ∴cos∠CAB＝cos ＝－sin∠CAD＝－， B组　能力提升练 65 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝36＋36－2×6×6×＝96， ∴BC＝4，∴在等腰△ABC中，cos B＝， ∴在Rt△ABD中，cos B＝， ∴BD＝3， ∴AD＝＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 66 法二：∵cos∠CAD＝，∠CAD∈(0，π)， ∴sin∠CAD＝， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得， 12×6×AD＋×6×AD·sin∠CAD， 即12×6·AD＋·6·AD·， 解得AD＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 67 $$