暑假复习综合测试卷（苏教版，范围：必修第二册全册，暑假复习举一反三）（提高篇）

**基本信息** 苏教版必修二暑假提高复习卷，120分钟150分，覆盖复数、统计、向量等核心知识，通过基础题（如分层抽样）与创新题（如仿射坐标系）梯度设计，培养数学抽象与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数象限（第1题）、向量共线（第3题）|基础巩固，考查数学眼光观察数量关系| |多项选择|3/18|三角形性质（第10题）、正方体线面关系（第11题）|能力辨析，体现逻辑推理思维| |填空|3/15|概率计算（第13题）、向量取值范围（第14题）|情境应用，培养数据意识与模型观念| |解答|5/77|立体几何翻折（第18题）、仿射坐标系（第19题）|综合创新，融合空间想象与问题解决能力|

暑假复习综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【解答过程】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 【答案】C 【解题思路】求出总人数得到抽样比，利用分层抽样中样本容量等于总人数乘以抽样比即可求解. 【解答过程】由题可得总人数为 人，抽样比 所以样本容量. 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【解答过程】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 4．（5分）（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【解答过程】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 5．（5分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解答过程】， 是锐角，则， ， 故选：B． 6．（5分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【解答过程】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 8．（5分）（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（     ） A．平面 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A，通过证明即可得到平面；由底面可得，再结合可得平面，进而得到；对于C，根据三棱锥的体积公式求解判断即可；对于D，分别求出三棱锥各个面的面积即可判断. 【解答过程】对于A，因为、分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，，， 所以， 则， 故D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·吉林松原·期末）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 【答案】AD 【解题思路】利用复数除法运算得，求模判断A，求虚部判断B，代入方程计算判断C，求判断D. 【解答过程】因为， 则，z的虚部为，为纯虚数，故AD正确，B错误， 又因为， 所以不是方程的一个根，故C错误. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 【答案】ABD 【解题思路】对A，由内角范围及诱导公式求解判断；对BCD，由正弦定理和余弦定理逐项判断. 【解答过程】对于A：由得或， 解得或，所以为等腰或直角三角形，A正确； 对于B：由，可得， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，B正确； 对于C：由余弦定理，，即， 化简得，解得或， 若，则； 若，则.所以C错误； 对于D：根据余弦定理，即， 所以，又，所以或，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 【答案】ABC 【解题思路】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【解答过程】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以 ，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·山西吕梁·阶段检测）若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为__________. 【答案】 【解题思路】利用平均数公式求出的值，再利用中位数的定义可求得这组数据的中位数. 【解答过程】因为一组数据、、、、的平均数为， 由平均数公式可得，解得， 故这组数据由小到大排列依次为、、、、， 因此，这组数据的中位数为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·天津武清·阶段检测）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，设“甲命中”，“乙命中”，“前4次中甲恰好射击3次”，则，进而由事件的相互独立性及互斥事件的概率公式计算可得答案． 【解答过程】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“前4次中甲恰好射击3次”， 则， 根据题意，，，，， 因为每次射击命中与否互不影响，且、、互斥， 所以 ， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·阶段检测）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【答案】(1) (2)中位数为：；平均数为： 【解题思路】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计中位数和平均数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 16．（15分）（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【解答过程】（1）解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； （2）由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 17．（15分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【解答过程】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 18．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 19．（17分）（24-25高一下·上海杨浦·期中）设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为 仿射坐标系.在 仿射坐标系中，若，则记.    (1)在 仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在 仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【解答过程】（1）由可得， 则， 所以； （2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. （3）依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设 ，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假复习综合测试卷（提高篇） 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第二册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 3．（5分）（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 4．（5分）（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（     ） A．平面 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·吉林松原·期末）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 10．（6分）（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 11．（6分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·山西吕梁·阶段检测）若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为__________. 13．（5分）（24-25高一下·天津武清·阶段检测）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为__________． 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·阶段检测）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 16．（15分）（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 17．（15分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 18．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 19．（17分）（24-25高一下·上海杨浦·期中）设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为 仿射坐标系.在 仿射坐标系中，若，则记.    (1)在 仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在 仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $