第4章 第8节 第1课时 正弦定理、余弦定理-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第八节　正弦定理、余弦定理 第一课时　正弦定理、余弦定理 第四章　三角函数、解三角形 1 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R a2＝_________________； b2＝_________________； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 知识梳理 知识点一　正弦定理、余弦定理 5 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝________， c＝________； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝_____________________； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 知识梳理 知识点一　正弦定理、余弦定理 6   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识梳理 知识点二　三角形解的判断 7 1.S＝aha(ha表示边a上的高). 2.S＝___________＝__________＝___________.  3.S＝_______________(r为三角形的内切圆半径). absin C acsin B bcsin A r(a＋b＋c) 知识梳理 知识点三　三角形中常用的面积公式 8 1.已知在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C 自我评价 9 2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20， C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 C 自我评价 10 3.已知在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝__________.  2 自我评价 11 4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°， a2＋c2＝3ac，则b＝__________.  2 自我评价 12 在△ABC中，常有以下结论： (1)a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B，cos A＜cos B. (2)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (3)海伦公式：三角形的面积 S＝. 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(1)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝ (　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. [解析]　因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)， 所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2， 则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝，又0＜C＜π，所以C＝. B 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 15 (2)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c. 若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A. B. C. D. C 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 16 [解析]　法一：∵acos B－bcos A＝c， ∴sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， ∴sin(A－B)＝sin C， ∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去). 又C＝，∴A－B＝. 又A＋B＝， ∴B＝. 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 17 法二：由acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴cos Asin B＝0.又知sin B≠0， ∴cos A＝0.又∵A∈(0，π)，∴A＝， ∴B＝－C＝. 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 18 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理.以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 方法总结 19 (多选)(2025·江苏苏州期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A.若△ABC为锐角三角形，则sin B＞cos A B.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D.若△ABC为钝角三角形，且AB＝3，AC＝5，cos C＝，则△ABC的面积为 AC 跟踪训练 20 解析：对于A，若△ABC为锐角三角形，则A，B∈，且A＋B＞. 所以B＞－A，可得sin B＞sin＝cos A，故A项正确； 对于B，若B＝60°，则b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， 结合b2＝ac，得ac＝a2＋c2－ac，整理得(a－c)2＝0，即a＝c， 所以△ABC是含有60°的等腰三角形，可知△ABC是等边三角形，故B项不正确； 跟踪训练 21 对于C，由余弦定理，可得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝a， 若bcos C＋ccos B＝b，则a＝b，可知△ABC是等腰三角形，故C项正确； 对于D，在钝角△ABC中，AB＝3，AC＝5， cos C＝， 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C， 跟踪训练 22 即9＝25＋BC2－BC，整理得7BC2－65BC＋112＝0，解得BC＝7或. 当BC＝7时，由AB2＋AC2＝34＜BC2＝49，可知A为钝角，符合题意； 当BC＝时，由AB2＋BC2＝9＋＜AC2＝25，可知B为钝角，也符合题意. 结合sin C＝，可知S△ABC＝AC·BC·sin C＝，故D项不正确. 跟踪训练 23 [例2]　(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列判断 三角形的形状正确的是(　　) A.若acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状为直角三角形 B.若sin Asin B＝cos2 ，则△ABC是等腰三角形 C.若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是等腰直角三角形 D.若c－acos B＝cos A，则△ABC的形状一定为等腰三角形 AB 考点二　判断三角形形状 24 [解析]　对于A，法一：由余弦定理及已知得a×＋a×＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝，所以△ABC为直角三角形，A正确. 法二：因为acos B＋acos C＝b＋c，由正弦定理得sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C，即sin Acos B＋sin Acos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得cos A·(sin B＋sin C)＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，则cos A＝0，又A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC为直角三角形，A正确； 考点二　判断三角形形状 25 对于B，因为cos2 cos C，A＋B＋C＝π， 所以cos2 cos C＝cos[π－(A＋B)]＝cos(A＋B)＝cos Acos B＋sin Asin B， 即sin Asin B＝cos Acos B＋sin Asin B， 所以cos(A－B)＝1.因为0＜A＜π，0＜B＜π， 所以A－B＝0⇒A＝B，B正确； 考点二　判断三角形形状 26 对于C，因为a－b＝ccos B－ccos A， 所以由正弦定理得 sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－ sin Ccos A， 整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0， 所以(sin B－sin A)cos C＝0， 考点二　判断三角形形状 27 所以sin B＝sin A或cos C＝0， 因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B或C＝， 即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形，C错误； 对于D，由正弦定理， 得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以sin－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A＝0， 所以cos A＝0 或sin A＝sin B，即A＝ 或A＝B， 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形，D错误. 考点二　判断三角形形状 28 判断三角形形状的两种常用途径 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 方法总结 29 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且还满足①a(sin A－sin B)＝；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：由题及正弦定理得，即a2＋ac＝b2＋bc，所以a2－b2＋ac－bc＝0，所以＝0，所以a＝b，即△ABC 为等腰三角形. 考点二　判断三角形形状 30 若选①，则△ABC 为等边三角形.由①及正弦定理，得a，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈，所以C＝，所以△ABC 为等边三角形. 若选②，则△ABC 为等腰直角三角形.由②及余弦定理的推论得，bcos A＋acos B＝b·＋a·＝c＝csin C，又c≠0，所以sin C＝1，又C∈，所以C＝，所以△ABC 为等腰直角三角形. 考点二　判断三角形形状 31 [例3]　(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝， 则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 [解析]　由BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos ∠BAC，得64＝100＋AB2－ 2AB·10·， ∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6， ∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC， ∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24. C 考点三　三角形的面积、周长问题 32 [例4]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； [解]　由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，由已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝， 因为C∈，所以sin C＞0， 从而sin C＝， 又因为sin C＝cos B，即cos B＝，注意到B∈，所以B＝. 考点三　三角形的面积、周长问题 33 (2)若△ABC的面积为3＋，求c. [解]　由(1)可得B＝，cos C＝，C∈，从而C＝，A＝π－， 而sin A＝sin＝sin××， 由正弦定理有， 考点三　三角形的面积、周长问题 34 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝absin C＝·c·c·c2， 由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2. 考点三　三角形的面积、周长问题 35 [探究]　若本题条件不变，在(2)的条件下求该三角形的周长. 解：由(2)可知c＝2， ∴a＝c＝， b＝c＝2， ∴△ABC的周长a＋b＋c＝＋2＋2 ＝＋3＋2. 考点三　三角形的面积、周长问题 36 (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； 解：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，则BC＝. 由正弦定理，得， 则sin∠ABC＝. 跟踪训练 37 (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 解：法一：在Rt△ABD中，由(1)知sin∠ABD＝，且∠ABD为锐角，∴tan∠ABD＝. 在Rt△ABD中，AB＝2， 则AD＝AB·tan∠ABD＝2×. 在△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝1， ∴△ADC的面积S＝××1×sin 30°＝. 跟踪训练 38 法二：在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°， ∴S△ABC＝×2×1×sin 120°＝. 又， ∴S△ACD＝S△ABC＝. 跟踪训练 39 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A. 教材延展　射影定理的应用 40 [例]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角 三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式 成立的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A A 教材延展　射影定理的应用 41 [解析]　法一：因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)， 所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B， 即cos C(2sin B－sin A)＝0. 又△ABC为锐角三角形， 所以2sin B＝sin A，故2b＝a. 教材延展　射影定理的应用 42 法二：由正弦和余弦定理得b ＝2a×＋c×， 所以2b2＝a2＋3b2－c2， 即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2， 即(a2＋b2－c2)＝0， 所以a2＋b2＝c2或2b＝a. 又△ABC为锐角三角形， 所以a2＋b2＞c2，故2b＝a. 教材延展　射影定理的应用 43 法三：由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C， 得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b， 即2bcos C＝acos C. 又因为△ABC为锐角三角形， 所以cos C≠0， 所以2b＝a. 教材延展　射影定理的应用 44 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acos C＋b＝ 2ccos A，c＝ a，则A＝(　　) A. B. C. D. A 跟踪训练 45 解析：法一：由射影定理，得b＝acos C＋ccos A， 代入2acos C＋b＝2ccos A， 得3acos C＝ccos A. 又c＝a，所以cos A＝cos C，① 由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C，② ①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1， 即sin A＝， 又由①得A∈，故A＝. 跟踪训练 46 法二：已知c＝a， 由正弦定理得sin C＝sin A， 所以sin2C＝3sin2A， 所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A. 由2acos C＋b＝2ccos A， 得2sin Acos C＋sin B＝2sin Ccos A， 2sin Acos C＋sin(A＋C)＝2sin Ccos A， 3sin Acos C＝sin Ccos A， 跟踪训练 47 9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A， 9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)， 由sin A≠0， 解得sin A＝±. 又0＜A＜π，所以A＝. 跟踪训练 48 课时作业　巩固提升 49 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝ ，则C＝(　　) A.90°　　　　　　　 B.45° C.60° D.30° 解析：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a＝5，b＝4，c＝， 则可得cos C＝， 又0°＜C＜180°，可得C＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 50 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①b ＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝4，A＝30°；③c＝2，b＝，B＝60°； ④c＝12，b＝12，C＝120°.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是 (　　) A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 51 解析：对于①，因为b＞csin B＝4×＝2，且b＜c，所以三角形有两解； 对于②，因为a＞bsin A＝4×＝2，且a＞b，所以三角形有唯一解； 对于③，sin C＝＝1，即C＝90°，所以三角形有唯一解； 对于④，c＝12，b＝12，C＝120°，则B＝C＝120°，则B＋C＞180°，所以三角形无解. 所以满足上述条件的三角形有唯一解的是②③. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 52 3.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　) A. B. C.6 D.5 解析：由题及正弦定理得a＝6b， 又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得c2＝62＋12－2×6×1×＝31， 解得c＝(负值已舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 53 4.在△ABC中，若·＝－2，且B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A.2 B. C. D. 解析：因为·＝－2且B＝60°， 所以a·c·cos(180°－60°)＝accos 120°＝－2， 所以ac＝4，所以acsin B＝×4×. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 54 5.(2025·江苏苏州期中)在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B＝2cos2C，则 △ABC的形状一定为(　　) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：因为cos 2A＋cos 2B＝2cos2C， 所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－2sin2C，即sin2A＋sin2B＝sin2C，所以a2＋b2＝c2，即C＝90°，所以△ABC为直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 55 6.(2025·江苏盐城月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b， c，已知△ABC的外接圆半径R＝，且满足sin2A＋sin2B＋sin Asin B＝ 2csin C，则边c的大小为(　　) A. B. C. D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 56 解析：由＝2R⇒c＝2Rsin C＝sin C， 所以sin2A＋sin2B＋sin Asin B＝2csin C可化为 sin2A＋sin2B＋sin Asin B＝sin2C， 由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，所以cos C＝＝－，所以C＝120°， 所以c＝sin C＝sin 120°＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 57 7.在△ABC中，A＝，AC＝2，且△ABC的面积为，则BC＝(　　) A. B. C.2 D.3 解析：△ABC中，A＝，AC＝2， 则△ABC的面积S＝×2×AB×， 所以AB＝1， 则BC＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 58 8.(2025·河北衡水模拟)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即“在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝”.根据此公式，若acos B＋(b＋3c)cos A＝ 0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为(　　) A. B.2 C. D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 59 解析：由acos B＋(b＋3c)cos A＝0得sin Acos B＋cos A·sin B＋3sin Ccos A＝0， 即sin C＋3sin Ccos A＝0，即sin C(1＋3cos A)＝0. 因为sin C≠0，所以cos A＝－， 由余弦定理得a2－b2－c2＝－2bccos A＝bc＝2， 所以bc＝3， 由△ABC的面积公式得 S＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 60 9.(多选)(2025·安徽池州模拟)在△ABC中，AB＝，B＝60°，若满足 条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是(　　) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 解析：满足条件的△ABC有两个，可得AB×sin B＜AC＜AB⇒＜AC＜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BC A组　基础保分练 61 10.(多选)(2025·江苏南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BD A组　基础保分练 62 解析：根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B， 代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac， 可得2accos B·ac， 即sin B＝， 因为0＜B＜π， 所以B＝或B＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 63 11.(2025·福建莆田质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若cos C＝，a＝2b，则cos A＝__________.  解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12b2＋b2－2×2b2×＝9b2， 所以c＝3b， 于是有cos A＝＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 － A组　基础保分练 64 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 12.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若 ∠BDC＝45°，则BD＝__________，cos∠ABD＝__________.  解析：如图，易知sin C＝，sin A＝，cos A＝. 在△BDC中，由正弦定理可得， ∴BD＝， ∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos 45°cos A＋sin 45°sin A＝××. 　 A组　基础保分练 65 13.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：法一：由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋，解得A＝. A组　基础保分练 66 法二：由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得 4cos2A－4cos A＋3＝0⇔＝0，解得cos A＝，又A∈ (0，π)，故A＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 67 (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由题设条件和正弦定理有bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得，，即， 解得b＝2，c＝，故△ABC的周长为2＋＋3. A组　基础保分练 68 14.(多选)(2025·江苏常州月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，下列说法正确的有( 　　) A.a＝bcos C＋ccos B B.若a2＜b2＋c2，则△ABC为锐角三角形 C.若sin A＞sin B，则A＞B D.若cos A＞sin B，则△ABC为钝角三角形 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ACD B组　能力提升练 69 解析：对于A，由于在△ABC中，如图所示，过 点A作AD⊥BC交于点D，利用BC＝BD＋CD，整 理得a＝ccos B＋bcos C，故A正确；对于B，由 于a2＜b2＋c2，所以cos A＝＞0，由于A∈(0，π)，所以A为锐角，但是不能说明△ABC为锐角三角形，故B错误；对于C，由于sin A＞sin B，利用正弦定理得2Rsin A＞2Rsin B，所以a＞b，故A＞B，故C正确；对于D，在△ABC中，cos A＞sin B，由于sin B＞0，所以 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 70 cos A＞0，所以A为锐角，若B为锐角，则cos A ＞cos，可得A＜－B，整理得A＋B＜， 故C＞，若B为钝角，则cos A＞cos，可 得A＜B－，故B＞A＋，故B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 71 15.在锐角三角形ABC中，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的 周长为__________.  解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12，① 由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，② 联立①②解得a＝c＝2，所以△ABC 的周长为4＋4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 4＋4 B组　能力提升练 72 16.(2025·山东日照模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1－S2－S3＝bc. (1)求A； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， B组　能力提升练 73 则S1－S2－S3＝a2－b2－c2＝bc，可得a2－b2－c2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 74 (2)若＝4，∠CAD＝，求sin∠ACB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：设∠ACB＝α(其中α为锐角)， 在△ABD和△ACD中，由正弦定理可得 ， 且， 于是， B组　能力提升练 75 又因为BD＝4CD，sin＝sin， 所以＝4， 化简得cos α＝sin α， 根据同角三角函数的基本关系式，可得cos2α＋sin2α＝1， 因为sin α＞0，联立方程组，解得sin α＝， 即sin∠ACB＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 76 $$