第2章 提升课3 函数性质的综合应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

该高中数学高考复习课件聚焦函数性质综合应用核心考点，覆盖单调性、奇偶性、周期性与对称性等高考高频内容，依据高考评价体系分析各考点权重，归纳不等式求解、函数值计算等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，通过2025年模拟题解析培养学生数学思维和推理意识，如利用奇函数单调性转化不等式f(x²)+f(2x-3)>0为x²<3-2x，帮助学生掌握性质综合应用方法，助力学生高效冲刺，为教师复习教学提供系统指导。

提升课3　函数性质的综合应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　(2025·四川宜宾模拟)若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为　　　　　.  (-3,1) 考点一　函数的单调性与奇偶性 [解析]　由f(-x)=-f(x),得a=0, 即f(x)=-= 当x≥0时,f(x)=-1+在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数, 故f(x)在R上单调递减. 由f(x)为奇函数,则不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化为f(x2)>f(3-2x),得x2<3-2x,解得x∈(-3,1). 方法总结 1.利用偶函数在对称的区间上单调性相反、奇函数在对称的区间上单调性相同,实现不等式的等价转化. 2.注意偶函数的性质f(x)=f(|x|)的应用. 跟踪训练 已知函数f(x)=,则不等式f(2x-3)<2的解集是(　　) A.(1,2) B. C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.∪ A 解析:显然f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)===4-是增函数. 又f(1)=2,所以f(2x-3)<2可化为f(2x-3)<f(1),可得|2x-3|<1,解得1<x<2. [例2]　(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数,f(x+2)为奇函数,若f(0)=1,则f(1)+f(2)+…+f(2 024)=　　　　　.  0 考点二　函数的周期性与奇偶性 [解析]　f(x+2)是奇函数,故f(x+2)=-f(-x+2),且f(2)=0,f(x)是偶函数, 故f(x+2)=-f(-x+2)=-f(x-2), 则f(x+4)=-f(x), f(x+8)=-f(x+4)=f(x),函数周期为8, f(x+2)=-f(-x+2),故f(3)+f(1)=0,f(4)+f(0)=0,即f(4)=-1, f(5)=-f(1),f(6)=-f(2)=0,f(7)=-f(3),f(8)=f(0)=1, 故f(1)+f(2)+…+f(8)=0,则f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0. 方法总结 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解. 跟踪训练 (2025·湖北襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,则(　　) A.f(6)<f(-7)<f B.f(6)<f<f(-7) C.f(-7)<f<f(6) D.f<f(-7)<f(6) B 解析:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x), ∴函数f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(6)=f(2)=-f(0)=f(0),f=f=-f=f,f(-7)=f(1). 又当x∈[0,1]时,f(x)单调递增, ∴f(0)<f<f(1), 即f(6)<f<f(-7). [例3]　已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称.当x>0时,f(x)=,则f(-2)=(　　) A.1　　　　　　　　　 B.3 C.-1 D.-3 C 考点三　函数的奇偶性与对称性 [解析]　因为将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=f(x)的图象且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称, 所以y=f(x)的图象关于原点中心对称, 则y=f(x)在R上是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-=-1. 跟踪训练 已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 028)的值为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 D 解析:因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x). 又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0. 又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1, 所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 028)=507[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 028)= 507×(1+0-1+0)+f(0)=1. [例4]　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)-f(-x)=0,且满足f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=-cos ,则下列结论正确的是(　 　) A.f(1)=0 B.f(x)的周期为2 C.f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.f=- ACD 考点四　函数的周期性与对称性 [解析]　因为f(x+1)为奇函数, 所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,A正确; 因为当x∈[0,1)时,f(x)=-cos,所以f(0)=-cos 0=-1. 因为f(-x+1)=-f(x+1),所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0), 所以2不是f(x)的周期,B错误; 因为f(x+1)为奇函数, 所以函数f(x+1)的图象关于原点对称, 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,C正确; 由f(-x+1)=-f(x+1),f(x)-f(-x)=0, 可得f(x+2)=-f(-x-1+1)=-f(-x)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), 所以函数f(x)为周期函数,周期为4, 所以f=f=f=f,又当x∈[0,1)时,f(x)=-cos , 所以f=-cos =-,D正确. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 方法总结 (2025·山东济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),则f(2 024)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 A 解析:由f(-x)=-f(x),x∈R, 可知f(x)为奇函数,关于(0,0)对称. 由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)关于x=1对称, ∴f(-x)=f(2+x), ∴f(2+x)=-f(x), ∴f(4+x)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期函数且T=4, ∴f(2 024)=f(0)=0. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,若f(-2)=1,则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) A A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:根据奇函数的性质,得f(x) 在R上是减函数,且f(2)=-1,由|f(2x)|≤1,得-1≤f(2x)≤1,即f(2)≤f(2x)≤f(-2),所以-2≤2x≤2,解得-1≤x≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称且f(5)=1,则f(2 025)=(　　) A.-1　　　　　　　　　 B.1 C.0 D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为f(x) 的图象关于直线x=1对称, 所以f(-x)=f(x+2). 又f(x) 为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x),所以f(x) 是周期为4的周期函数.又f(5)=1, 所以f(2 025)=f(1)=f(5)=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知f(x)是R上的偶函数,且f(x)+f(x+2)=0,当0≤x≤1时,f(x)=1-x2, 则f(2 023.5)等于(　　) A.-0.75 B.-0.25 C.0.25 D.0.75 D 解析:由f(x)+f(x+2)=0, 得f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2), 则f(x+4)=f(x), 所以4是f(x)的一个周期, 故f(2 023.5)=f(3.5)=f(-0.5)=f(0.5)=1-0.52=0.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若a=f(log20.2),b=f(20.2),c=f(0.20.3),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:log20.2=log2=-log25,因为f(x) 是定义在R上的偶函数,所以a=f(log20.2)=f(-log25)=f(log25). 因为log25>log24=2,1=20<20.2<21=2,0<0.20.3<0.20=1,所以0<0.20.3<20.2<log25. 又因为f(x) 在(0,+∞) 上单调递减,所以f(log25)<f(20.2)<f(0.20.3),即a<b<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知函数f(x)=e|x|,设a=f,b=f(lg 5),c=f(log63),则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c A 解析:显然函数f(x)=为偶函数,当x>0时,f(x)=e|x|=ex单调递增.因为lg 5 =1-lg 2,log63=1-log62,1>log62>lg 2>0,所以1>lg 5>log63>0.因为a=f=f(-ln 3)=f(ln 3),ln 3>1,所以f(ln 3)>f(lg 5)>f(log63),即c<b<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x)(　　) A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递减 B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递增 C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递减 D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递增 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:∵f(x)=f(2-x), ∴f(x)的图象关于直线x=1对称. ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减, ∴f(x)在区间[0,1]上单调递增. 又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴f(2-x)=f(-x), ∴f(x)是周期为2的函数, ∴f(x)在区间[-2,-1]上也单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题正确的是(　　) A.若f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于原点对称 D.函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:对于A,因为∀x∈R,f(x+1)+f(1-x)=0,于是得函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,A正确; 对于B,因为∀x∈R,f(x-1)=f(1-x),于是得函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称,B错误; 对于C,函数y=-f(x-1)的图象上任意一点(x,y)关于点(1,0)对称的点(2-x,-y)在函数y=f(1-x)的图象上, 因此,函数y=-f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于点(1,0)对称,C错误; 对于D, 函数y=f(x-1)的图象上任意一点(x,y)关于x=1对称的点(2-x,y)在函数y=f(1-x)的图象, 因此,函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数,且两函数都在(-∞,0] 上单调递减,所以f(x) 在[0,+∞) 上单调递增,g(x)在[0,+∞) 上单调递减,即g(x) 在R上是减函数,所以f(1)<f(2),g(2)<g(1)<g(0)=0,所以f(g(1))<f(g(2)),g(f(1))>g(f(2)),g(g(1))<g(g(2)),故B,D正确,C不正确;若f(1)<f(2)<0,则f(f(1))>f(f(2)),故A不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且对任意的x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有>0,则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的周期T=4 C.f(2 026)=0 D.f(x)在(-4,-2)上单调递减 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,得f(1+x-1)=f(1-x-1), 即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,A正确; 由f(x+4)-f(x)=2f(2),令x=-2,可得f(2)=0,所以f(x+4)=f(x), 所以f(x)的周期T=4,B正确; f(2 026)=f(4×506+2)=f(2)=0,C正确; 又f(x)在(0,2)上单调递增,所以f(x)在(-2,0)上单调递减,由周期T=4,所以f(x)在(-4,-2)上单调递增,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　　.  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(x)=f(1-x),所以f(1)=f(0)=0.由于f(x)的一个对称中心是原点、一条对称轴是直线x=,所以f(x)是周期T=4×=2的函数.于是由f(1)=f(0)=0易得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知函数f(x)=5-x-3x3,若f(a-1)+f(2a)≥10,则实数a的取值范围为 　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:令g(x)=x+3x3, 因为g(-x)=-x-3x3=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 由函数y=x,y=3x3都是增函数,可得g(x)=x+3x3为增函数. 因为f(x)=5-x-3x3=5-g(x), 所以不等式f(a-1)+f(2a)≥10可化为5-g(a-1)+5-g(2a)≥10,即-g(a-1) ≥g(2a), 所以g(1-a)≥g(2a),所以1-a≥2a,解得a≤, 所以实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知函数f=x2-x-2. (1)求函数f(x)的解析式; 解:令t=x-1,则x=2t+2, f(t)=(2t+2)2-(2t+2)-2=4t2+7t+1, f(x)=4x2+7x+1(x∈R). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知g(x)=x+2a-3,若对任意x1∈[-2,-1],总存在x2∈[-1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解: 由(1)知:f(x)=4-, 当x∈[-2,-1]时,f(x)单调递减,f(-2)=3,f(-1)=-2, 所以f(x)∈[-2,3]. 因为g(x)在[-1,3]上单调递增, 当x∈[-1,3]时,g(x)∈[2a-4,2a]. 因为对任意x1∈[-2,-1],总存在x2∈[-1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立, 所以只需f(x)min≥g(x)min, 由题意,得2a-4≤-2,解得a≤1, 故实数a的取值范围是(-∞,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(多选)设函数f(x)=,则以下说法中正确的是(　 　) A.f(x)≤ B.|f(x)|≤5|x| C.f(x)的图象存在对称轴 D.f(x)的图象存在对称中心 ABC B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:对于A,sin πx∈[-1,1],x2-x+1∈,则当x=时,sin πx取到最大值1,x2-x+1取到最小值,此时f(x)的值最大,最大值为,而f(x)不存在最小值,所以f(x)≤,故A正确; 对于B,当x=0时,|f(x)|=5|x|,当x≠0时,=·<1×=<5,即|f(x)|<5|x|, 所以|f(x)|≤5|x|,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C,f(x)=,分子分母所对应的函数的图象的对称轴都为直线x=,所以f(x)的图象的对称轴为x=,故C正确; 对于D,假设曲线f(x)存在对称中心,又由C选项知曲线f(x)存在对称轴,则函数f(x)必是周期函数,而f(x)=不是周期函数,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=　　　　　.  解析:因为g(x+1) 是偶函数,所以g(x) 的图象关于直线x=1 对称.又g(x+1)=xf(x+1),所以f(x+1) 是奇函数,所以f(x) 的图象关于点(1,0) 对称.又f(x) 为偶函数,所以f(x)=-f(2-x),即f(x+4)=f(x),所以f(x) 的周期T=4,所以f(-0.5)=f(0.5)=-f(1.5)=-f(5.5)=-2,所以g(-0.5)=-1.5×f(-0.5)=3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立. (1)证明:y=f(x)是周期函数,并指出其周期; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明:由f=-f, 且f(-x)=-f(x)知, f(3+x)=f =-f=-f(-x)=f(x), 所以y=f(x)是周期函数,且周期为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求f(2 025)的值. 解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又T=3,所以f(2 025)=f(675×3)=f(0)=0. $$