第4章 第5节 三角函数的定义域、最值(值域)、单调性-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第五节　三角函数的定义域、最值(值域)、单调性 第四章　三角函数、解三角形 1 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.　 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等).　3.理解正切函数在区间上的性质. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，1)，，________，，(2π，1). 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑). (π，－1) 知识梳理 知识点一　五点法作正弦函数与余弦函数的简图 5 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象       定义域 R R 知识梳理 知识点二　正弦、余弦、正切函数图象与性质 6 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 值域 ___________ __________ R 单调性 在 (k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增 [－1，1] [－1，1] 知识梳理 知识点二　正弦、余弦、正切函数图象与性质 7 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 最值 当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 无最值 知识梳理 知识点二　正弦、余弦、正切函数图象与性质 8 1.函数y＝2sin的单调递增区间是(　　) A.　　　　 B. C. D. D 自我评价 9 2.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) D 自我评价 10 3.函数f＝－2tan的定义域是______________________.  自我评价 11 4.函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝______________.  5 　＋2kπ(k∈Z) 自我评价 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　(1)函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是(　　) [解析]　当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝0；当x＝2π时，y＝1，结合正弦函数的图象可知B正确. B 考点一　三角函数的图象 14 (2)函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) A.　　　　　　 B.(π，1) C.(0，1) D.(2π，1) [解析]　用五点作图法作出函数y＝－cos x(x＞0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1). B 考点一　三角函数的图象 15 正、余弦函数、正切函数图象问题的解题策略 1.解决正、余弦函数、正切函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线及正切曲线. 2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 方法总结 16 1.函数y＝cos x·|tan x|的大致图象是(　　) C 跟踪训练 17 解析：由题意得 y＝cos x·|tan x|＝ 所以其图象的大致形状如选项C所示. 跟踪训练 18 2.已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]，若直线y＝k与其仅有两个 不同的交点，则k的取值范围为__________.  解析：由题意知f(x)＝sin x＋2|sin x| ＝ 图象如图所示： 若函数f(x)的图象与直线y＝k有且仅有 两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1，3). (1，3) 跟踪训练 19 [例2]　(多选)下列各函数的定义域正确的是(　　) A.函数y＝tan的定义域为 B.函数y＝的定义域为(k∈Z) C.函数y＝的定义域为 D.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪ AD 考点二　三角函数的定义域 20 [解析]　对于A，函数y＝tan＝－tan， 令x－≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z， ∴函数y的定义域为，A正确； 对于B，由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，B错误； 考点二　三角函数的定义域 21 对于C，要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为，C错误； 考点二　三角函数的定义域 22 对于D，由题意可知 即 解得－3≤x＜－或0＜x＜. 故函数y＝lg(sin 2x)＋∪，D正确. 考点二　三角函数的定义域 23 三角函数定义域的解题策略 1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角函数不等式(组)，常借助单位圆或三角函数的图象来求解. 2.三角函数与基本初等函数的组合或复合，其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集. 方法总结 24 1.(2025·河南郑州模拟)函数y＝的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z C 跟踪训练 25 解析：由题可知， 即 解得－＋kπ＜x≤＋kπ，k∈Z. 跟踪训练 26 2.函数y＝lg的定义域为__________________________.  解析：要使函数有意义，则有 解得k∈Z，所以2kπ＜x≤＋2kπ ，k∈Z， 所以函数y 的定义域为. 跟踪训练 27 [例3]　(1)(多选)已知fsin x＋sin，下列结论正确的是 (　　) A.f的值域为 B.若x∈，则f的值域为 C.若x∈(0，π)，则f的最大值为 D.若x∈， 则f无最值 BC 考点三　三角函数的最值(值域) 28 [解析]　fsin x＋sinsin x＋cos x＝sin，值域为，A错误. 因为x∈，所以x＋∈， 所以sin∈， 所以f∈，B正确.同理C正确，D错误. 考点三　三角函数的最值(值域) 29 (2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是__________， 最大值是__________.  [解析]　当x∈时，－≤sin x≤1. ∵y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2，∴当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或－时，ymax＝2. 　 2 考点三　三角函数的最值(值域) 30 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 1.形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，再求化为关于t 的二次函数的值域(最值). 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再求化为关于t的二次函数的值域(最值). 方法总结 31 1.函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A. B. C. D. 解析：当x∈时，2x－∈， 所以sin∈， 故3sin∈，即此时函数f(x)的值域为. B 跟踪训练 32 2.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为_________________.  解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤， ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－， ∴函数的值域为. 跟踪训练 33 角度1　单调区间问题 [例4]　(1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 C 考点四　三角函数的单调性 34 [解析]　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确； 对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确； 考点四　三角函数的单调性 35 对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确； 对于D选项，因为x∈，所以2x∈函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D项不正确. 考点四　三角函数的单调性 36 (2)若函数f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　) A.　　 B. C.　　 D.π [解析]　函数f(x)＝cos (k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，所以⇒a≤，于是0＜a≤，即a的最大值为. A 考点四　三角函数的单调性 37 角度2　利用单调性比较大小 [例5]　已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则 a，b，c的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c A 考点四　三角函数的单调性 38 [解析]　a＝f＝2cos， b＝f＝2cos， c＝f＝2cos， 因为y＝cos x在[0，π]上单调递减， 又0＜＜π， 所以a＞b＞c. 考点四　三角函数的单调性 39 1.已知三角函数解析式求单调区间. 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. 2.已知三角函数的单调区间求参数. 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 3.比较三角函数值的大小，一般化为同名函数，把角化到同一单调区间内，即可比较. 方法总结 40 1.设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：由已知f(x)＝cos. 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈， ∴f(x)在. D 跟踪训练 41 2.设甲：“函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0＜ ω≤2”，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 跟踪训练 42 解析：若“函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增”，则ω＞0， 由－≤ωx≤得－≤x≤，则解得0＜ω≤， 所以，甲是乙的充分不必要条件. 跟踪训练 43 课时作业　巩固提升 44 1.已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2，0]上(　　) A.单调递增　　　　　 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 解析：∵x∈[－2，0]， ∴2x－∈， ∵－＜－4－＜－π＜－＜0， ∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 45 2.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos 2x，则f(x)的 一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 解析：f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的一个单调递减区间为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 46 3.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　) A.sin α＜sin β B.cos α＜sin β C.cos α＜cos β D.cos α＞cos β 解析：因为α，β为锐角三角形的两个内角，所以α＋β＞，α＞－β，α∈－β∈， 所以cos α＜cos＝sin β. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 47 4.函数f(x)＝3cos x－4sin x，当f(x)取得最大值时，sin x＝(　　) A. B.－ C. D.－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 48 解析：f(x)＝3cos x－4sin x ＝5 ＝5cos(x＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 而f(x)＝3cos x－4sin x＝5cos(x＋φ)≤5， 当且仅当x＋φ＝2kπ(k∈Z)时等号成立，此时sin x＝sin(－φ)＝－sin φ＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 49 5.(2025·河北唐山模拟)函数f(x)＝sin(2x－φ)在上单调 递增，则φ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 50 解析：由x∈可得2x－φ∈， 又|φ|≤，则－φ≤，且f(x)在上单调递增， 所以 解得≤φ≤， 即φ的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 51 6.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝cos＋1(ω＞0)的最小正 周期为π，则f(x)在区间上的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 解析：因为函数f(x)＝cos＋1(ω＞0)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝cos＋1，因为x∈，所以2x＋∈，所以当2x＋时，f(x)取得最大值，最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 52 7.若函数f(x)＝sin x＋cos x在[2π，α]上单调递增，则实数α 的最大值 为(　　) A.3π B. C. D. 解析：由题意可得f(x)＝sin，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，令k＝1，得≤x≤，所以实数α的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 53 8.已知函数f(x)＝4sin＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1，5]， 则实数m的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：因为x∈[0，m]，所以2x－∈.因为f(x)的值域为[－1，5]，所以≤2m－，解得≤m≤，所以实数m的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 54 9.若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为 2，则常数ω的取值可以为(　　) A.1 B. C. D. 解析：因为函数y＝cos x的最大值为1，y＝sin ωx的最大值为1， 由题意可知，y＝cos x取得最大值1时，y＝sin ωx也取得最大值1， 即当x＝2kπ，k∈Z时，ω·2kπ＝＋2k'π，k，k'∈Z，得ω＝，k，k'∈Z，k≠0， 当k＝1，k'＝0时，ω＝，其他值不满足等式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 55 10.(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数y＝sin，x∈的单调递减区间为 B.函数y＝cos的单调递减区间为(k∈Z) C.函数y＝sin，x∈在区间上单调递减 D.y＝－sin x在区间上先减后增 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 56 解析：由＋2kπ≤3x＋＋2kπ(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z). 又x∈， 所以函数y＝sin，x∈，A错误， C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 57 y＝cos＝cos， 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数y＝cos(k∈Z)，B正确. 因为y＝sin x在区间上单调递增，所以y＝－sin x在区间上单调递减， D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 58 11.(多选)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知f(x)＝sin(ω＞0)，若 2f＝1，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则下列说法正确的 是(　　) A.ω＝ B.ω＝6 C.f(x)在区间上的最小值为－ D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 59 解析：当0＜x＜时，－＜ωx－， 因为f＝sin，且函数f(x)在上有且仅有三个极值点， 所以，解得ω＝6，A错误，B正确； 所以f(x)＝sin，当0≤x≤时，－≤6x－，所以f(x)min＝sin＝－，C正确； 由2kπ－≤6x－≤2kπ＋(k∈Z)可得≤x≤(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 60 12.(2025·江苏南京模拟)已知集合M＝{x|x2－5x＋6≤0}，N＝ ，则M∩N＝___________________.  解析：由题意可得M＝{x|x2－5x＋6≤0}＝{x|2≤x≤3}， 又cos x＜－，解得＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z， 即N＝， 当k＝0时，N＝，则M∩N＝， 当k＜0时，M∩N＝⌀，当k＞0时，M∩N＝⌀， 所以M∩N＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 61 13.(多选)设函数f(x)＝|cos x|＋cos 2x，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的值域为[－1，2] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD B组　能力提升练 62 解析：f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＋cos[2(x＋π)]＝|cos x|＋cos 2x＝f(x)，则f(x)的最小正周期为π，A正确. 当≤x≤时，令t＝cos x，t∈，则f(x)＝2cos2x－cos x－1，即y＝2t2－t－1， 而函数y＝2t2－t－1在上单调递减，t＝cos x在上单调递减，因此，f(x)在上单调递增，B不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 63 因为f(0)＝2，f＝－1，所以f(x)图象上的点(0，2)关于直线x＝不在f(x)的图象上，C不正确. 当－1≤cos x＜0时，f(x)＝2cos2x－cos x－1 ＝2，则f(x)∈(－1，2]， 当0≤cos x≤1时，f(x)＝2cos2x＋cos x－1，则f(x)∈[－1，2]，因此f(x)的值域为[－1，2]，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 64 14.已知函数f(x)＝2sin2cos 2x，则f(x)在x∈上的最小值是__________.若不等式f(x)－m＜2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围是_____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 2　 (1，＋∞) B组　能力提升练 65 解析：∵f(x)＝2sin2cos 2x ＝1－coscos 2x ＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1. 又∵x∈，∴≤2x－， 即2≤1＋2sin≤3，∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.∵f(x)－m＜2⇔f(x)－2＜m，x∈，且f(x)max＝3，∴m＞f(x)max－2＝1， ∴m＞1，即m的取值范围是(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 66 15. (2025·北京模拟)已知函数f(x)＝4sin·cos＋m(ω＞0).从下列三个条件中选择可以确定ω和m的两个条件作为已知条件并完成解答. ①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值与最小值之和为0；③f(0)＝2. 注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 67 (1)求f的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：f(x)＝4sin＋m＝2sincos＋2sin2＋m＝sin ωx＋(1－cos ωx)＋m＝sin ωx－cos ωx＋＋m＝2sin＋m. 选择条件①②： 由条件①得，T＝＝π，又ω＞0，所以ω＝2.由②知，(2＋＋m)＋(－2＋＋m)＝0，所以m＝－，则f(x)＝2sin，所以f＝2sin＝2sin. B组　能力提升练 68 选择条件①③： 由条件①得，T＝＝π，又ω＞0， 所以ω＝2.由③知，f(0)＝2sin＋m＝2，所以m＝2，则f(x)＝2sin＋2，所以f＝2sin＋2＝2＋2. 选择条件②③：没有符合条件的函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 69 (2)若函数f(x)在区间[0，a]上单调递增，求实数a的最大值. 注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：选择条件①②： 令－＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).因为函数f(x)在[0，a]上单调递增，且0∈，此时k＝0，所以a≤.故实数a的最大值为. B组　能力提升练 70 选择条件①③： 令－＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).因为函数f(x)在[0，a]上单调递增，且0∈，此时k＝0，所以a≤.故实数a的最大值为. 选择条件②③：没有符合条件的函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 71 $$