第2章 提升课3 函数性质的综合应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

提升课3　函数性质的综合应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　(2025·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝a－为奇函数，则关于x的不等式f(x2)＋f(2x－3)＞a的解集为__________.  [解析]　由f(－x)＝－f(x)，得a＝0， 即f(x)＝－ 当x≥0时，f(x)＝－1＋在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数， 故f(x)在R上单调递减. 由f(x)为奇函数，则不等式f(x2)＋f(2x－3)＞0可化为f(x2)＞f(3－2x)，得x2＜3－2x，解得x∈(－3，1). (－3，1) 考点一　函数的单调性与奇偶性 3 1.利用偶函数在对称的区间上单调性相反、奇函数在对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化. 2.注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用. 方法总结 已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)＜2的解集是(　　) A.(1，2) B. C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪ 解析：显然f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝＝4－是增函数. 又f(1)＝2，所以f(2x－3)＜2可化为f(2x－3)＜f(1)，可得|2x－3|＜1，解得1＜x＜2. A 跟踪训练 [例2]　(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)为奇 函数，若f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝__________.  [解析]　f(x＋2)是奇函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)，且f(2)＝0，f(x)是偶函数， 故f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)， 则f(x＋4)＝－f(x)， f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，函数周期为8， f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(0)＝0，即f(4)＝－1， f(5)＝－f(1)，f(6)＝－f(2)＝0，f(7)＝－f(3)，f(8)＝f(0)＝1， 故f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝0. 0 考点二　函数的周期性与奇偶性 6 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解. 方法总结 (2025·湖北襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)， 当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则(　　) A.f(6)＜f(－7)＜f B.f(6)＜f＜f(－7) C.f(－7)＜f＜f(6) D.f＜f(－7)＜f(6) B 跟踪训练 解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f＝f＝－f＝f，f(－7)＝f(1). 又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增， ∴f(0)＜f＜f(1)， 即f(6)＜f＜f(－7). 跟踪训练 [例3]　已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0) 中心对称.当x＞0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　　) A.1　　　　　　　　 B.3 C.－1 D.－3 [解析]　因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)中心对称， 所以y＝f(x)的图象关于原点中心对称， 则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1. C 考点三　函数的奇偶性与对称性 10 已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈ [0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 028)的值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)＝－f(2＋x). 又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0. 又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 028)＝507[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 028)＝507×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1. D 跟踪训练 [例4]　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos ，则下列结论正确的是 (　 　) A.f(1)＝0 B.f(x)的周期为2 C.f(x)的图象关于点(1，0)对称 D.f＝－ ACD 考点四　函数的周期性与对称性 [解析]　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，所以f(1)＝0，A正确； 因为当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos， 所以f(0)＝－cos 0＝－1. 因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)， 所以2不是f(x)的周期，B错误； 考点四　函数的周期性与对称性 因为f(x＋1)为奇函数， 所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0， 可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)为周期函数，周期为4， 考点四　函数的周期性与对称性 所以f＝f ＝f＝f， 又当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos ， 所以f＝－cos ＝－，D正确. 考点四　函数的周期性与对称性 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 方法总结 (2025·山东济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)， f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由f(－x)＝－f(x)，x∈R， 可知f(x)为奇函数，关于(0，0)对称. 由f(1＋x)＝f(1－x)可知f(x)关于x＝1对称， ∴f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期函数且T＝4， ∴f(2 024)＝f(0)＝0. A 跟踪训练 课时作业　巩固提升 18 1.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则 满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A.[－1，1] B.[－2，2] C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：根据奇函数的性质，得f(x) 在R上是减函数，且f(2)＝－1，由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 19 2.已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且f(5)＝1，则f(2 025)＝(　　) A.－1　　　　　　　　 B.1 C.0 D.3 解析：因为f(x) 的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－x)＝f(x＋2). 又f(x) 为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x) 是周期为4的周期函数.又f(5)＝1，所以f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 20 3.已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－ x2，则f(2 023.5)等于(　　) A.－0.75 B.－0.25 C.0.25 D.0.75 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 21 4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a ＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.b＜a＜c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 22 解析：log20.2＝log2＝－log25，因为f(x) 是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25). 因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，所以0＜0.20.3＜20.2＜log25. 又因为f(x) 在(0，＋∞) 上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 23 5.已知函数f(x)＝e|x|，设a＝f，b＝f(lg 5)，c＝f(log63)，则a，b，c 的大小关系是(　　) A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 解析：显然函数f(x)＝为偶函数，当x＞0时，f(x)＝e|x|＝ex单调递增.因为lg 5＝1－lg 2，log63＝1－log62，1＞log62＞lg 2＞0，所以1＞lg 5＞log63＞0.因为a＝f＝f(－ln 3)＝f(ln 3)，ln 3＞1，所以f(ln 3)＞f(lg 5)＞f(log63)，即c＜b＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 24 6.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2] 上单调递减，则函数f(x)(　　) A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 25 解析：∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称. ∵f(x)在区间[1，2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0，1]上单调递增. 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(2－x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为2的函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 26 7.已知定义域为R的函数y＝f(x)，则下列命题正确的是(　　) A.若f(x＋1)＋f(1－x)＝0恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B.若f(x－1)＝f(1－x)恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 C.函数y＝－f(x－1)的图象与函数y＝f(1－x)的图象关于原点对称 D.函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝f(1－x)的图象关于y轴对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 27 解析：对于A，因为∀x∈R，f(x＋1)＋f(1－x)＝0，于是得函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，A正确； 对于B，因为∀x∈R，f(x－1)＝f(1－x)，于是得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，B错误； 对于C，函数y＝－f(x－1)的图象上任意一点(x，y)关于点(1，0)对称的点(2－x，－y)在函数y＝f(1－x)的图象上， 因此，函数y＝－f(x－1)的图象与函数y＝f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，C错误； 对于D， 函数y＝f(x－1)的图象上任意一点(x，y)关于x＝1对称的点(2－x，y)在函数y＝f(1－x)的图象， 因此，函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝f(1－x)的图象关于x＝1对称，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 28 8.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))＜f(f(2)) B.f(g(1))＜f(g(2)) C.g(f(1))＜g(f(2)) D.g(g(1))＜g(g(2)) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BD A组　基础保分练 29 解析：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数都在(－∞，0] 上单调递减，所以f(x) 在[0，＋∞) 上单调递增，g(x)在[0，＋∞) 上单调递减，即g(x) 在R上是减函数，所以f(1)＜f(2)，g(2)＜g(1)＜g(0)＝0，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，故B，D正确，C不正确；若f(1)＜f(2)＜0，则f(f(1))＞f(f(2))，故A不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 30 9.(多选)(2025·江苏南通月考)定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)－ f(x)＝f(1)，则(　　) A.f(1)＝0 B.f(1－x)＋f(1＋x)＝0 C.f(1＋2x)＝f(1－2x) D.f(i)＝10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC A组　基础保分练 31 解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)－f(x)＝f(1)， ∴当x＝－1时，有f(1)－f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝f(1)＝0，A正确； ∴原条件化为f(x＋2)－f(x)＝0， 即f(x＋2)＝f(x)，① ∴f(x)是以2为周期的周期函数. 在①中，令x＝0，得f(2)＝f(0)，但不能确定f(0)是否为0， ∴f[1－(－1)]＋f[1＋(－1)]不一定为0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 32 即f(1－x)＋f(1＋x)＝0不一定成立，B错误； 在①中，用－x替换x，得f(2－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(1＋2x)＝f(1－2x)，C正确； ∵f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(19)＝0， f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(20)，但f(2)的值无法确定， ∴f(i)的值不确定，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 33 10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝__________.  解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(0)＝0.由于f(x)的一个对称中心是原点、一条对称轴是直线x＝，所以f(x)是周期T＝4×＝2的函数.于是由f(1)＝f(0)＝0易得f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 0 A组　基础保分练 34 11.已知函数f(x)＝5－x－3x3，若f(a－1)＋f(2a)≥10，则实数a的取值范 围为_______________.  解析：令g(x)＝x＋3x3， 因为g(－x)＝－x－3x3＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数， 由函数y＝x，y＝3x3都是增函数，可得g(x)＝x＋3x3为增函数. 因为f(x)＝5－x－3x3＝5－g(x)， 所以不等式f(a－1)＋f(2a)≥10可化为5－g(a－1)＋5－g(2a)≥10，即－g(a－1)≥g(2a)， 所以g(1－a)≥g(2a)，所以1－a≥2a，解得a≤， 所以实数a的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 35 12.已知函数f＝x2－x－2. (1)求函数f(x)的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：令t＝x－1，则x＝2t＋2， f(t)＝(2t＋2)2－(2t＋2)－2＝4t2＋7t＋1， f(x)＝4x2＋7x＋1(x∈R). A组　基础保分练 36 (2)已知g(x)＝x＋2a－3，若对任意x1∈[－2，－1]，总存在x2∈[－1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)知：f(x)＝4， 当x∈[－2，－1]时，f(x)单调递减，f(－2)＝3，f(－1)＝－2， 所以f(x)∈[－2，3]. 因为g(x)在[－1，3]上单调递增， 当x∈[－1，3]时，g(x)∈[2a－4，2a]. 因为对任意x1∈[－2，－1]，总存在x2∈[－1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立， 所以只需f(x)min≥g(x)min， 由题意，得2a－4≤－2，解得a≤1， 故实数a的取值范围是(－∞，1]. A组　基础保分练 13.(2025·江苏苏州期中)定义在R上的奇函数f(x)，且f(5)＝0，且对任意 不等的正实数x1，x2都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0，则不等式 ＞0的解集为(　　) A.(－∞，－4)∪(1，6) B.(－∞，－5)∪(5，＋∞) C.(－4，1)∪(1，6) D.(－5，0)∪(5，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 38 解析：依题意，不妨令0＜x1＜x2，则x1－x2＜0， 因为[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0， 所以f(x1)－f(x1)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(5)＝0， 所以f(－5)＝－f(5)＝0， 又f(1－x)＝－f(x－1)，所以不等式＞0可化为＞0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 39 即＜0，当x－1＞0，即x＞1时，f(x－1)＜0＝f(5)，则x－1＜5，解得x＜6，故1＜x＜6；当x－1＜0，即x＜1时，f(x－1)＞0＝f(－5)， 则x－1＞－5，解得x＞－4，故－4＜x＜1； 综上，－4＜x＜1或1＜x＜6， 即所求不等式的解集为(－4，1)∪(1，6). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 40 14.已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x).若g(x＋1) 是偶函数，则g(－0.5)＝__________.  解析：因为g(x＋1) 是偶函数，所以g(x) 的图象关于直线x＝1 对称.又g(x＋1)＝xf(x＋1)，所以f(x＋1) 是奇函数，所以f(x) 的图象关于点(1，0) 对称.又f(x) 为偶函数，所以f(x)＝－f(2－x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x) 的周期T＝4，所以f(－0.5)＝f(0.5)＝－f(1.5)＝－f(5.5)＝－2，所以g(－0.5)＝－1.5×f(－0.5)＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 3 B组　能力提升练 41 15.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝ －f成立. (1)证明：y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 证明：由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)知， f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且周期为3. B组　能力提升练 42 (2)求f(2 025)的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又T＝3，所以f(2 025)＝f(675×3)＝f(0)＝0. B组　能力提升练 43 $$