第2章 第9节 函数的图象-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第九节　函数的图象 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性). 其次:列表(尤其注意零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等特殊点). 最后:描点,连线. 知识梳理 知识点　函数的图象 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 y=f(x) 　 ;  y=f(x) 　 .  y=f(x-a) y=f(x)+b (2)伸缩变换 y=f(x) 　 ;  y=f(x) 　 .  y=f(ωx) y=Af(x) -f(x) f(-x) -f(-x) 1.(人A必修第一册P85练习T1改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(　　) A.y=f(|x|)　　　　　　 B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 解析:因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). C 自我评价 2.(人A必修第一册P159T1改编)在同一平面直角坐标系中,y=2x与 y=log2(-x)的图象可能是(　　) 解析:因为y=2x的图象过点(0,1),且单调递增,故排除选项C,D;y=log2(-x)的图象为过点(-1,0)的单调递减的函数图象,故排除选项A. B 3.把函数f(x)=ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的 函数解析式是　　　　　.  解析:根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln . y=ln 4.(人A必修第一册P102T13改编)如图,函数y=f(x)的图象由曲线段OA和线段AB构成.当0≤x≤2时,f(x)=ax+k(a>0且a≠1,k∈R),则函数f(x)的解析式 为　　　　　　　 　.  f(x)= 解析:当0≤x≤2 时,因为点O(0,0),A(2,3)在f(x) 的图象上,所以 解得 故当0≤x≤2 时,f(x)=2x-1;当2<x≤5 时,设f(x)=cx+b,因为点A(2,3),B(5,0)在f(x) 的图象上,所以 解得 故当2<x≤5 时,f(x)=-x+5.所以f(x)= 1.函数图象自身的对称关系 (1)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x). 常用结论 2.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. (3)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 关键能力　重点探究 [例1]　作出下列函数的图象: (1)y=; [解]　先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分, 即得y=的图象,如图①实线部分. 考点一　作函数的图象 (2)y=|log2(x+1)|; [解]　将函数y=log2x的图象先向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. (3)y=. [解]　因为y==2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图③. 方法总结 函数图象的常见画法及注意事项 1.直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图. 2.转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画. 3.图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图. 4.画函数的图象一定要注意定义域. 跟踪训练 作出下列函数的图象: (1)y=x-|x-1|; 解:根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数y=可见其图象是由两条射线组成,如图①所示. (2)y=|log2x-1|. 解: 先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图②所示. [例2]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　) B 考点二　函数图象的辨识 [解析]　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x), 又函数定义域为[-2.8,2.8],故该函数为偶函数,可排除A,C. 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0,故可排除D. 方法总结 知式选图或知图选式时的解题技巧 根据函数性质与函数图象特征的对应关系切入.具体如下: 函数性质 函数图象特征 函数的定义域 图象的左右位置 函数的值域 图象的上下位置 函数的奇偶性 图象的对称性 函数的单调性 图象的变化趋势 函数的周期性 图象的循环往复 函数的零点 图象与x轴的交点情况 函数经过的定点、极值点等 函数图象上的特殊点 跟踪训练 (2025·山东烟台模拟)若某函数在区间[-π,π]上的大致图象如图所示,则该函数的解析式可能是(　　) A.y=(x+2)sin 2x B.y= C.y= D.y= B 解析:A中,设f(x)=y=(x+2)sin 2x, 则当x∈时,2x∈(π,2π), 则f(x)<0,不符合,排除A; C中,设f(x)=y=, 当x∈(0,π)时,f(x)=, 且2<x+2<π+2,0<sin x≤1,1<x+1<π+1, 所以0<(x+2)sin x<π+2, 所以f(x)=<(x+2)sin x<π+2<6,不符合,排除C; D中,设f(x)=y=,令f(x)=0, 解得x=0或-2,不符合,排除D.故选B. 角度1　图象法解不等式 [例3]　不等式≤的解集是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B 考点三　函数图象的应用 [解析]　在同一平面直角坐标系中作出函数y= 和y= 的图象,如图所示,当= 时,解得x=,由图象知,≤的解集是. 角度2　求参数的取值范围 [例4]　若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 　　　　　.  [解析]　由题意得a=|x|+x,令y=|x|+x= 其图象如图所示,故要使a=|x|+x 只有一个解,则a>0. (0,+∞) 方法总结 1.利用函数的图象研究函数的性质. 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解,数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数图象的上下关系问题. 跟踪训练 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则 实数k的取值范围是　　　　　.  解析:先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过点A时,斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实数根时,实数k的取值范围为. 动点(抽象变量)的图象问题 [例]　如图,在不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于点E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(　　) C 教材延展 [解析]　当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了点D后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了点C后面积的增加速度又逐渐减慢. 方法总结 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 1.定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象. 2.定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征,从而利用排除法做出选择. 注意:求解的过程中注意实际问题中的定义域问题. 跟踪训练 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是(　　) B 解析:观察图象,根据图象的特点,发现取水深h=时,注水量V'>,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶容积的一半,A中V'<,C,D中V'=,故排除A,C,D. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.为了得到函数y=-1的图象,只需把函数y=2x的图象(　　) A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 A A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:将函数y=2x的图象向右平移3个单位长度得到y=的图象,再向下平移1个单位长度得到y=-1的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(2025·山东淄博模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y=logax与y=-x+a的图象可能是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递减; 函数y=-x+a在R上单调递减,且当x=0时,y=a∈(0,1),故A正确,C错误; 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增; 函数y=-x+a在R上单调递减,且当x=0时,y=a∈(1,+∞),故B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.函数f(x)=的图象大致为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为f(1)=1>0,故A,C错误; 又因为f(0)==<1=f(1),故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知函数f(x)在[-4,4]上的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=|x|·(4-|x|) D.f(x)=|x|·sin B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:选项A中函数满足f(2)==3,与图象不符,排除A. 又选项C中函数满足f(2)=4,与图象不符,排除C; 函数图象关于y轴对称,函数为偶函数,选项D中函数满足f(-x)= |-x|sin=-|x|sin=-f(x),为奇函数,排除D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数f(1-x)的图象为(　　) 解析:易知函数f(x) 的定义域为(0,+∞).由1-x>0,得x<1,所以函数f(1-x) 的定义域为(-∞,1),故排除A,C.又当x=-1 时,f(1-(-1))=f(2)=2ln 2>0,故排除B. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在定义域上是减函数 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:f(x)=作出函数f(x) 的图象(如图),由图可知,f(x)的图象关于点(0,1) 对称,因此f(x) 不是奇函数,函数f(x) 在定义域上为增函数,在(0,+∞) 上f(x) 没有零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知函数f(x)=|x2-1|,若0<a<b且f(a)=f(b),则b的取值范围是(　　) A.(0,+∞)　　　　　　 B.(1,+∞) C. D.(1,2) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:作出函数f(x)=|x2-1|在区间[0,+∞)上的图象如图所示,作出直线y=1,交f(x)的图象于点B,由x2-1=1可得xB=,结合函数图象可得b的取值范围是(1,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)对于函数f(x)=lg (+1),下列说法正确的有(　　) A.f(x+2)是偶函数 B.f(x+2)是奇函数 C.f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:f(x+2)=lg(|x|+1)为偶函数,A正确,B错误; 作出函数f(x) 的图象如图所示,可知f(x) 在(-∞,2) 上单调递减,在(2,+∞) 上单调递增,故函数f(x) 存在最小值0,C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论一定成立的是 (　 　) A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.abc<0 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题图知f(0)=>0,所以b<0,B正确; 当x=-c时,函数f(x)无意义, 由题图知-c<0,所以c>0,C正确; 令f(x)=0,解得x=, 由题图知<0, 又因为b<0,所以a>0,A错误; 综上,a>0,b<0,c>0,所以abc<0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.若函数f(x)=的图象关于点(1,1)对称,则实数a=　　　　　.  解析:f(x)==a+,关于点(1,a)对称,故a=1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(2025·吉林长春模拟)设函数f(x)=则f(f(0))=　　　　　;若f(m)>1,则实数m的取值范围是　　　　 　.  0 (-∞,0)∪(e,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:f(f(0))=f(1)=ln 1=0,如图所示,可得f(x)=的图象与直线y=1的交点分别为(0,1),(e,1).若f(m)>1,则实数m的取值范围是(-∞,0) ∪(e,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:根据题意,列表如下: f(x)的大致图象如图所示,其中有A,O,B三个零点. x -2 -1 0 1 2 f(x) 0 -1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知a>1,若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解: 由(1)的函数图象可知,要使f(x) 在[-1,a-2] 上单调递增,则-1<a-2≤1,即1<a≤3,故实数a 的取值范围是(1,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.⌀ B B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|, 分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,如图所示,由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|有两个交点,分别是(0,0)和(1,1), 由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0,1), 即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,则a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,2] C.(2,+∞) D.(1,+∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:要使函数g(x)=f(x)-a有三个零点, 则f(x)=a有三个不相等的实根, 即y=f(x)与y=a的图象有三个交点, 当x≤-1时,f(x)=1-3x+1在(-∞,-1]上单调递减,f(x)∈[0,1); 当-1<x≤0时,f(x)=3x+1-1在(-1,0]上单调递增,f(x)∈(0,2]; 当x>0时,f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,f(x)∈R.作出函数f(x)的图象,如图所示. 由y=f(x)与y=a的图象有三个交点,结合函数图象可得a∈(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知函数f(x)= (1)作出函数f(x)的图象; 解:当x≤0时,0<2x≤1,则f(x)=|2x-2|=2-2x∈[1,2), 作出函数f(x)的图象,如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)讨论方程f(x)-m=0根的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解: 由f(x)-m=0可得m=f(x), 则方程f(x)-m=0的根的个数即为直线y=m与函数y=f(x)图象的交点个数, 如图所示. 当m≤0时,方程f(x)-m=0无实数根; 当0<m<1或m≥2时,方程f(x)-m=0只有一个实数根; 当1≤m<2时,方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根. $$