第2章 提升课4 指、对、幂的大小比较-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

提升课4　指、对、幂的大小比较 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　(2025·湖南岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a， b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c　　　　　　 B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.b＜c＜a [解析]　根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1； 根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0； 根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1， ∴b＜c＜a. D 考点一　直接利用单调性比较大小 3 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. 方法总结 4 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞b＞a D.b＞c＞a 解析：因为函数y＝为增函数， 所以，即a＜b. 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b＜c，故c＞b＞a. C 跟踪训练 5 [例2]　已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a [解析]　因为1＝log55＞log53＞log5＝log5，即＜a＜1，b＝＞20＝1，c＝7－0.5＝，即0＜c＜，所以b＞a＞c. C 考点二　引入媒介值比较大小 6 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤. 方法总结 7 已知a＝log511，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.a＜b＜c 解析：由对数函数的运算性质，可得a＝log511＝log5＜log5， b＝log2log28＝，c＝，所以c＞b＞a. D 跟踪训练 8 [例3]　已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为 (　　) A.p＞m＞n B.m＞n＞p C.m＞p＞n D.p＞n＞m [解析]　由m5＝4，得m＝，由n8＝9，得n＝， 因此＞1， 即＞m＞n， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8＞log0.90.81＝2，于是得p＞m＞n， 所以正数m，n，p的大小关系为p＞m＞n. A 考点三　作差(商)法比较大小 9 已知a＝，b＝ln 2，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a 解析：因为a＝＞e0＝1，b＝ln 2＜ln e＝1，c＝log32＜log33＝1，所以a最大. 因为b－c＝ln 2－log32＝＝lg 2·＞0，所以b＞c.所以a＞b＞c. B 跟踪训练 10 [例4]　(1)(多选)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则下列结论错误的是 (　 　) A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 ACD 考点四　构造函数比较大小 11 [解析]　设f (x)＝2x＋log2x，则f (x)为增函数， ∵2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b， ∴f (a)－f (2b)＝2a＋log2a－[22b＋log2(2b)]＝22b＋log2b－[22b＋log2(2b)]＝log2＝－1＜0， ∴f (a)＜f (2b)，∴a＜2b，故A错误，B正确； f (a)－f (b2)＝2a＋log2a－(＋log2b2)＝22b＋log2b－(＋log2b2)＝22b－－log2b， 当b＝1时，f (a)－f (b2)＝2＞0， 此时f (a)＞f (b2)，有a＞b2； 当b＝2时，f (a)－f (b2)＝－1＜0， 此时f (a)＜f (b2)，有a＜b2， 故C，D均错误. 考点四　构造函数比较大小 12 (2)若log3x＝log4y＝log5z＜－1，则(　　) A.3x＜4y＜5z B.4y＜3x＜5z C.4y＜5z＜3x D.5z＜4y＜3x [解析]　令log3x＝log4y＝log5z＝m＜－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1＜0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象， 由图可知5m＋1＜4m＋1＜3m＋1，即5z＜4y＜3x. D 考点四　构造函数比较大小 13 构造函数，运用函数的单调性比较 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数寻找规律. 1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f外衣”比较大小. 2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性比较大小. 3.利用图象的直观性，观察图象交点的坐标比较大小. 方法总结 14 已知a＝＋ln 2，b＝，c＝，则(　　) A.c＞b＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b B 跟踪训练 15 解析：设f (x)＝ln(1＋x)－x(x＞－1)， ∴f'(x)＝－1＝. 当x∈(－1，0)时f'(x)＞0，f (x)单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减. ∴f (x)≤f (0)＝0，∴ln(1＋x)≤x， 当且仅当x＝0时等号成立. a－b＝＋ln 2－ 跟踪训练 16 ＝＜0， ∴a＜b， c－a＝＜0， ∴c＜a ∴b＞a＞c. 跟踪训练 17 课时作业　巩固提升 18 1.设a＝，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b＜a＜c　　　　　　　　 B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜c＜b 解析：a＝＞1，且＝b， 又c＝log2＜log22＝1. 故c＜a＜b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 19 2.已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c 解析：a＝log52＜log5＝log82＜log83＝b，即a＜c＜b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 20 3.设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c 解析：由c＝2－log32＝log39－log32＝log3＞log34＝2log32＝b， a－c＝log23＋log32－2＞2 －2＝2－2＝0， 所以a＞c，所以b＜c＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 21 4.设a＝，b＝，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 22 解析：因为函数y＝为减函数， 则0＜a＝＝1. 因为函数y＝为增函数， 则b＝＝1. 因为函数y＝lox为减函数， 则c＝lo＜lo1＝0，因此b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 23 5.已知a＝，b＝，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析：c＝lo＞lo＝1，a＝，b＝， 因为y＝ 在(0，＋∞) 上单调递增，且， 所以a＜b，又＝1，即b＜1， 所以a＜b＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 24 6.若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A.x＞y＞z B.y＞x＞z C.z＞x＞y D.x＞z＞y 解析：因为3x＝4y＝10，则x＝log310＞log39＝2，1＝log44＜y＝log410＜log416＝2， 即1＜y＜2，所以x＞y＞1， 从而z＝logxy＜logxx＝1，所以x＞y＞z. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 25 7.已知a＝log32，b＝log43，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 解析：c＝sin ，因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 则a＝log32＞log3，b＝log43＞log42＝. a－b＝， 因为ln 2＞0，ln 4＞0，则ln 2＋ln 4＞2⇒ln 2×ln 4＜×(ln 8)2＜×(ln 9)2＝(ln 3)2. 故a＜b，综上，b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 26 8.已知a＝loa，b＝lob，c＝loc，则a，b，c大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.c＜b＜a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 27 解析：a＝loa可以看成y＝x与y＝lox图象的交点的横坐标为a， b＝lob可以看成y＝x与y＝lox图象的交点的横坐标为b， c＝loc可以看成y＝x与y＝lox图象的交点的横坐标为c， 画出函数的图象如图所示， 由图象可知，c＜b＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 28 9.已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞c＞a B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.a＞b＞c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 29 解析：令f (x)＝(14－x)ln x， 则f'(x)＝－ln x＋－1. 因为y＝－ln x 在(0，＋∞) 上单调递减，y＝－1在(0，＋∞) 上单调递减， 所以f'(x)＝－ln x＋－1 在(0，＋∞) 上单调递减. 而f'(5)＝－ln 5＋－1＞0，f'(6)＝－ln 6＋－1＜0， 所以当x∈[6，＋∞) 时，f'(x)＜0. 所以f (x)＝(14－x)ln x 在[6，＋∞) 上单调递减. 所以f (6)＞f (7)＞f (8)，即8ln 6＞7ln 7＞6ln 8. 故a＞b＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 30 10.(多选)设a＝160.3，b＝90.6，c＝lo，则(　 　) A.a＞c B.b＞c C.a＞b D.b＞a 解析：因为a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2＞21.2＞21＝2，即b＞a＞2. 因为c＝log ＝log23＜log24＝2， 所以b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABD A组　基础保分练 31 11.(多选)若a＝log45，b＝lo3，c＝eln 2，则下列a，b，c的大小关系 表达正确的为(　 　) A.a＜b B.b＜a C.c＜b D.b＜c 解析：a＝lo5＝log25＝log2，b＝lo3＝log23，所以根据对数函数y＝log2x的图象与单调性知log22＜a＜b＜log24， 即1＜a＜b＜2，c＝eln 2＝2，所以a＜b＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 32 12.(多选)已知a＞b＞0，下列选项中正确的为(　 　) A.若＝1，则a－b＜1 B.若a2－b2＝1，则a－b＜1 C.若2a－2b＝1，则a－b＜1 D.若log2a－log2b＝1，则a－b＜1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 33 解析：A错误，例如a＝9，b＝4满足＝1，使a－b＝5＞1； B正确，a2＝b2＋1＞1，a＞1，又b＞0，所以a＋b＞1，而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝1，所以a－b＜1； C正确，设2a＝m＞1，2b＝n＞1，m－n＝1，则m＝n＋1，＝1＋＜2， 所以log2＝log2m－log2n＜1，即a－b＜1； D错误，log2a－log2b＝log2＝1，＝2，a＝2b，所以a－b＝b，b＜1不一定成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 34 13.已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 35 解析：构造函数f (x)＝x2，g(x)＝2x， 如图所示，当x∈(2，4) 时，x2＞2x， 所以f (2.1)＞g(2.1)， 所以2.12＞22.1＞22＝4，即b＞a＞4. 又因为ln 2.14＝4ln 2.1， 且函数y＝ln x 在(0，＋∞) 上是增函数， 所以ln 2.1＜ln e＝1， 即ln 2.14＝4ln 2.1＜4ln e＝4， 故b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 36 14.(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的 大小关系可能是( 　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ACD B组　能力提升练 37 解析：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z，得y＝3，z＝5，此时易知，选项C可能成立.取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知，选项A可能成立.取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知，选项D可能成立.设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1，无论k取何值，均不成立，即选项B不可能成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 38 15.三个数a＝，b＝，c＝的大小顺序为____________.  解析：a＝＝ln ，由于＝e2，＝23＝8，所以，所以＝ln ＜ln ，即a＜＜b，而＝23＝8，＝32＝9，所以，所以ln ln 3＝ln ，即b＜c，所以a＜b＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 a＜b＜c B组　能力提升练 39 $$