第2章 提升课3 函数性质的综合应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

提升课3　函数性质的综合应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　(多选)已知函数f (x)的定义域为R，且f ≠0.若f (x＋y)＋f (x) f (y)＝4xy，则(　 　) A.f ＝0 B.f ＝－2 C.函数f 是偶函数 D.函数f 是减函数 ABD 考点一　函数的单调性与奇偶性 3 [解析]　令x＝0，y＝，则f ＋f (0)f ＝0，即f (1＋f (0))＝0，而 f ≠0，∴f (0)＝－1.令x＝－，y＝，则f (0)＋ff＝－1， ∴f f ＝0，∴f ＝0，A正确；令x＝－，y＝1，则f ＋ f f (1)＝－2， ∴f ＝－2，B正确；令y＝－，则f ＋f (x)f ＝－2x，即 f ＝－2x，为奇函数，C错误；f ＝f ＝－2(x＋1)，为减函数，D正确. 考点一　函数的单调性与奇偶性 4 1.利用偶函数在对称的区间上单调性相反、奇函数在对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化. 2.注意偶函数的性质f (x)＝f (|x|)的应用. 方法总结 5 (2025·北京模拟)定义在R上的函数y＝f (x)满足以下条件：f (－x)－f (x)＝0，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时都有＞0，则 f (－)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A.f (π)＞f (－3)＞f (－) B.f (π)＞f (－)＞f (－3) C.f (π)＜f (－3)＜f (－) D.f (π)＜f (－)＜f (－3) 解析：由题设知y＝f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (－)＝f ()＜f (－3)＝f (3)＜f (π)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－). A 跟踪训练 6 [例2]　(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x ＋y)·f (x－y)＝f2(x)－f2(y)，f (1)＝2，f (x＋1)为偶函数，则(　 　) A.f (3)＝2　　　　　　 B.f (x)为奇函数 C.f (2)＝0 D.f (k)＝0 BCD 考点二　函数的周期性与奇偶性 7 [解析]　令x＝1，y＝0，则有f (1)·f (1)＝f2(1)－f2(0)， 故f2(0)＝0，即 f (0)＝0， 令x＝0，y＝x，则f (x)·f (－x)＝f2(0)－f2(x)， 即f (x)·[f (－x)＋f (x)]＝0恒成立，故f (－x)＝－f (x)， 又函数f (x)的定义域为R，故f (x)为奇函数，故B正确； 则f (－1)＝－f (1)＝－2，又f (x＋1)为偶函数， 故f (x＋1)＝f (－x＋1)，则f (3)＝f (－1)＝－2，故A错误； f (2)＝f (0)＝0，故C正确； f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，则f (x＋3)＝－f (x＋1)＝f (x－1)，故函数f (x)的周期为4， f (4)＝f (0)＝0，则f (k)＝506[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝506×(2＋0－2＋0)＝0，故D正确. 考点二　函数的周期性与奇偶性 8 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解. 方法总结 9 (2025·湖北襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)， 当x∈[0，1]时，f (x)单调递增，则(　　) A.f (6)＜f (－7)＜f B.f (6)＜f ＜f (－7) C.f (－7)＜f ＜f (6) D.f ＜f (－7)＜f (6) B 跟踪训练 10 解析：∵f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)， ∴函数f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)＝－f (0)＝f (0)，f ＝f ＝－f ＝f ，f (－7)＝ f (1). 又当x∈[0，1]时，f (x)单调递增， ∴f (0)＜f ＜f (1)， 即f (6)＜f ＜f (－7). 跟踪训练 11 [例3]　已知f (x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点 (－1，0)中心对称的是(　　) A.y＝(x－1)f (x－1) B.y＝(x＋1)f (x＋1) C.y＝xf (x)＋1 D.y＝xf (x)－1 B 考点三　函数的奇偶性与对称性 12 [解析]　构造函数g(x)＝xf (x)，该函数的定义域为R， 所以g(－x)＝－xf (－x)＝－xf (x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点. 对于A选项，函数y＝(x－1)f (x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x－1)f (x－1)图象的对称中心为(1，0)； 对于B选项，函数y＝(x＋1)f (x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到， 考点三　函数的奇偶性与对称性 13 故函数y＝(x＋1)f (x＋1)图象的对称中心为(－1，0)； 对于C选项，函数y＝xf (x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf (x)＋1图象的对称中心为(0，1)； 对于D选项，函数y＝xf (x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf (x)－1图象的对称中心为(0，－1). 考点三　函数的奇偶性与对称性 14 (多选)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f (x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x).若f (x)满足f (2＋3x)＝f (－3x)，g(x－2)的图象关于直线x＝2对称，且g(0)＝1，则(　 　) A.g(x)是偶函数 B.g(x)＝g(x＋4) C.f (x)＋f (－x)＝0 D.g＝0 ABD 跟踪训练 15 解析：对于A选项，因为函数g(x－2)的图象关于直线x＝2对称， 则g(2－x－2)＝g(2＋x－2)， 即g(－x)＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数，故A正确； 对于B选项，因为f (2＋3x)＝f (－3x)，令t＝3x，可得f (t＋2)＝f (－t)，即f (x＋2)＝f (－x)， 对等式f (x＋2)＝f (－x)两边求导得f'(x＋2)＝－f'(－x)，即g(x＋2)＋g(－x)＝0， 故g(x＋2)＋g(x)＝0，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，故B正确； 跟踪训练 16 对于C选项，因为g(x)＝f'(x)， 则f'(－x)＝f'(x)， 令h(x)＝f (x)＋f (－x)，则h'(x)＝f'(x)－f'(－x)＝0，所以h(x)为常数函数， 设h(x)＝f (x)＋f (－x)＝C，其中C为常数， 当C≠0时，f (－x)＝C－f (x)≠－f (x)，故C错误； 对于D选项，因为g(x＋2)＋g(－x)＝g(x＋2)＋g(x)＝0，所以g(1)＝0，g＋g＝0， g(2)＋g(0)＝g(2)＋1＝0，可得g(2)＝－1， 跟踪训练 17 g＋g＝g＋g＝g＋g＝0，g(3)＝g(3－4)＝g(－1)， 由g(x＋2)＋g(－x)＝g(x＋2)＋g(x)＝0，令x＝1，可得g(3)＋g(1)＝0，则g(3)＝0，g(4)＝g(0)＝1， 所以g＋g(1)＋g＋g(2)＋g＋g(3)＋g＋g(4)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0－1＋0＋1＝0， 因为2 024＝8×253，则g＝253g＝0，故D正确. 跟踪训练 18 [例4]　(多选)已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，满足f (x＋1)＝f (x－2)， 下列说法正确的是(　 　) A.y＝f (x)的图象关于直线x＝对称 B.y＝f (x)的图象关于点对称 C.y＝f (x)在[0，6]上至少有5个零点 D.若y＝f (x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 024，2 025]上也单调递增 BCD 考点四　函数的周期性与对称性 19 [解析]　因为f (x＋1)＝f (x－2)且y＝f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x＋3)＝f (x)， 故函数f (x)是周期为3的周期函数，且f (x＋3)＝f (x)＝－f (－x)， 所以f (3＋x)＋f (－x)＝0，故函数y＝f (x)的图象关于点对称， A错误，B正确； 由题意可知，f (6)＝f (3)＝f (0)＝0， 因为f (x)＝f (x＋3)＝－f (－x)，令x＝－，可得f ＝f ， 考点四　函数的周期性与对称性 20 即f ＝－f ， 所以f ＝0，从而f ＝f ＝0， 故函数y＝f (x)在[0，6]上至少有5个零点，C正确； 因为f (2 024)＝f (3×675－1)＝f (－1)，f (2 025)＝f (3×675)＝f (0)，且函数f (x)在[0，1]上单调递增， 所以函数f (x)在[－1，0]上也单调递增，故函数f (x)在[2 024，2 025]上也单调递增，D正确. 考点四　函数的周期性与对称性 21 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 方法总结 22 (多选)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f (2－x)＝f (x)成立，且f (1)＝1，则(　 　) A.(1，0)是函数f (x)图象的一个对称中心 B.函数f (x)的一个周期是4 C.f (3)＝－1 D.f (2)＝0 解析：因为f (x) 是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x)的图象关于(0，0) 对称.因为f (2－x)＝f (x)，所以f (x) 的图象关于直线x＝1 对称， f (x＋4)＝f (x)，且f (1)＝1，所以函数f (x) 的周期为4，f (3)＝f (－1)＝ －f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝0. BCD 跟踪训练 23 课时作业　巩固提升 24 1.已知定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，若f (－2)＝1， 则满足|f (2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A.[－1，1] B.[－2，2] C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：根据奇函数的性质，得f (x) 在R上是减函数，且f (2)＝－1，由 |f (2x)|≤1，得－1≤f (2x)≤1，即f (2)≤f (2x)≤f (－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 25 2.已知奇函数f (x)的图象关于直线x＝1对称且f (5)＝1，则f (2 025)＝ (　　) A.－1　　 B.1 C.0 D.3 解析：因为f (x) 的图象关于直线x＝1对称， 所以f (－x)＝f (x＋2). 又f (x) 为奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝f (x)，所以f (x) 是周期为4的周期函数.又f (5)＝1，所以 f (2 025)＝f (1)＝f (5)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 26 3.(2025·河南许昌模拟)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log310，8，c＝，则f (a)，f (b)， f (c)的大小关系为(　　) A.f (a)＞f (c)＞f (b) B.f (a)＞f (b)＞f (c) C.f (b)＞f (a)＞f (c) D.f (c)＞f (a)＞f (b) 解析：∵f (x)是定义在R上的偶函数， ∴f (a)＝f (－log310)＝f (log310)，且2＜log310＜3， f (b)＝f (－3)＝f (3)，f (c)＝f ，且1＜＜2. ∵f (x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则f (c)＜f (a)＜f (b). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 27 4.定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2) 上单调递增，则(　　) A.f (11)＜f (12)＜f (21) B.f (21)＜f (12)＜f (11) C.f (11)＜f (21)＜f (12) D.f (21)＜f (11)＜f (12) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 28 解析：∵函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称， ∴f (x－4)＝－f (－x). 又f (x)为定义在R上的奇函数， ∴－f (－x)＝f (x)， ∴f (x－4)＝f (x)， 即函数f (x)的周期是4， ∴f (11)＝f (－1)，f (12)＝f (0)，f (21)＝f (1). ∵f (x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增， ∴f (x)在(－2，2)上单调递增， ∴f (－1)＜f (0)＜f (1)， 即f (11)＜f (12)＜f (21). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 29 5.已知函数f (x)的图象关于原点对称，且满足f (x＋1)＋f (3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f (x)＝－(x－1)＋m，若＝f (－1)，则m等 于(　　) A. B. C.－ D.－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 30 解析：因为函数f (x)的图象关于原点对称， 所以f (x)为奇函数. 因为f (x＋1)＝－f (3－x)＝f (x－3)， 故函数f (x)的周期为4，则f (2 025)＝f (1)， 而f (－1)＝－f (1)， 所以由＝f (－1)可得f (1)＝， 而f (1)＝－f (3)＝(3－1)－m＝， 解得m＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 31 6.已知函数f (x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是 (　　) A.f (x－1)＋cosx B.f (x＋1)＋sinx C.f (x－1)＋sinx D.f (x＋1)＋cosx 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 32 解析：因为函数f (x)＝2x＋2－x的定义域为R， 且f (－x)＝2－x＋2x＝f (x)， 故函数f (x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称， 函数f (x－1)的图象为函数f (x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称. 又函数y＝sinx的图象关于直线x＝1对称， 因此函数f (x－1)＋sinx的图象关于直线x＝1对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 33 7.已知偶函数f (x)的图象经过点(－1，－3)，且当0≤a＜b时，不等式 ＜0恒成立，则使得f (x－1)＋3＜0成立的x的取值范围为(　　) A.(－∞，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(0，2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 34 解析：由题意可知，f (x)为偶函数， 且经过点(－1，－3)， 所以点(1，－3)也在函数f (x)的图象上， 即f (1)＝－3. 因为0≤a＜b，所以b－a＞0， 当0≤a＜b时，不等式＜0恒成立， 所以f (b)－f (a)＜0，即f (b)＜f (a)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 35 所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减. 因为f (x－1)＋3＜0，所以f (x－1)＜－3， 即f (x－1)＜f (1). 因为f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以|x－1|＞1，解得x＞2或x＜0. 所以使得f (x－1)＋3＜0成立的x的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 36 8.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋4)－ f (x)＝2f (2)，若y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1， x2∈(0，2)，且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是(　 　) A.f (x)是偶函数 B.f (x)的周期T＝4 C.f (2 026)＝0 D.f (x)在(－4，－2)上单调递减 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABC A组　基础保分练 37 解析：由y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，得f (1＋x－1)＝f (1－x－1)， 即f (－x)＝f (x)，故f (x)是偶函数，A正确； 由f (x＋4)－f (x)＝2f (2)，令x＝－2，可得f (2)＝0，所以f (x＋4)＝f (x)， 所以f (x)的周期T＝4，B正确； f (2 026)＝f (4×506＋2)＝f (2)＝0，C正确； 又f (x)在(0，2)上单调递增，所以f (x)在(－2，0)上单调递减，由周期T＝4，所以f (x)在(－4，－2)上单调递增，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 38 9.已知函数f (x)＝5－x－3x3，若f (a－1)＋f (2a)≥10，则实数a的取值范 围为__________.  解析：令g(x)＝x＋3x3， 因为g(－x)＝－x－3x3＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数， 由函数y＝x，y＝3x3都是增函数，可得g(x)＝x＋3x3为增函数. 因为f (x)＝5－x－3x3＝5－g(x)， 所以不等式f (a－1)＋f (2a)≥10可化为5－g(a－1)＋5－g(2a)≥10，即 －g(a－1)≥g(2a)， 所以g(1－a)≥g(2a)，所以1－a≥2a，解得a≤， 所以实数a的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 39 10.设f (x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x)的图象关于直线x＝对称， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝__________.  解析：因为f (x)是R上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，所以f (x)＝f (1－x)，所以f (1)＝f (0)＝0.由于f (x)的一个对称中心是原点、一条对称轴是直线x＝，所以f (x)是周期T＝4×＝2的函数.于是由f (1)＝f (0)＝0易得f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋ f (5)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 0 A组　基础保分练 40 11.写出一个同时满足以下三个条件：①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式： ___________________________________________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 f (x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一) A组　基础保分练 41 12.设函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝ －f 成立. 证明：y＝f (x)是周期函数，并指出其周期. 证明：由f ＝－f ， 且f (－x)＝－f (x)知， f (3＋x)＝f ＝－f ＝－f (－x)＝f (x)， 所以y＝f (x)是周期函数，且周期为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 42 13.已知函数f ＝x2－x－2. (1)求函数f (x)的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：令t＝x－1，则x＝2t＋2， f (t)＝(2t＋2)2－(2t＋2)－2＝4t2＋7t＋1， f (x)＝4x2＋7x＋1(x∈R). A组　基础保分练 43 (2)已知g(x)＝x＋2a－3，若对任意x1∈[－2，－1]，总存在x2∈[－1，3]，使得f (x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由(1)知：f (x)＝4， 当x∈[－2，－1]时，f (x)单调递减，f (－2)＝3，f (－1)＝－2， 所以f (x)∈[－2，3]. 因为g(x)在[－1，3]上单调递增， 当x∈[－1，3]时，g(x)∈[2a－4，2a]. A组　基础保分练 44 因为对任意x1∈[－2，－1]，总存在x2∈[－1，3]，使得f (x1)≥g(x2)成立， 所以只需f (x)min≥g(x)min， 由题意，得2a－4≤－2，解得a≤1， 故实数a的取值范围是(－∞，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 45 14.(多选)已知f (x)是定义域为R的函数，满足f (x＋1)＝f (x－3)，f (1＋x) ＝f (3－x)，当0≤x≤2时，f (x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　 　) A.f (x)的周期为4 B.f (x)的图象关于直线x＝2对称 C.当0≤x≤4时，函数f (x)的最大值为2 D.当6≤x≤8时，函数f (x)的最小值为－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABC B组　能力提升练 46 解析：对于A，因为f (x＋1)＝f (x－3)，所以f (x＋3＋1)＝f (x＋3－3)，则f (x)＝f (x＋4)， 即f (x)的周期为4，故A正确； 对于B，由f (1＋x)＝f (3－x)知，f (x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 对于C，当0≤x≤2时，f (x)＝x2－x在上单调递减，在上单调递增， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 47 根据对称性可知，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f (x)在[0，4]上的最大值为f (2)＝4－2＝2，故C正确； 对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f (x)在[6，8]上的最小值为f ＝ f ＝f ＝f ＝－，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 48 15.已知f (x)是定义域为R的偶函数，f (5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f (x).若g(x＋ 1)是偶函数，则g(－0.5)＝__________.  解析：因为g(x＋1) 是偶函数，所以g(x) 的图象关于直线x＝1 对称.又g(x＋1)＝xf (x＋1)，所以f (x＋1) 是奇函数，所以f (x) 的图象关于点(1，0) 对称.又f (x) 为偶函数，所以f (x)＝－f (2－x)，即f (x＋4)＝f (x)，所以f (x) 的周期T＝4，所以f (－0.5)＝f (0.5)＝－f (1.5)＝－f (5.5)＝－2，所以g(－0.5)＝－1.5×f (－0.5)＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 3 B组　能力提升练 49 16.已知函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2). (1)求f (1)的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：因为对于任意x1，x2∈D，有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. B组　能力提升练 50 (2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：f (x) 为偶函数，证明如下： f (x) 的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝f (1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，得f (－x)＝f (－1)＋f (x)， 所以f (－x)＝f (x)， 所以f (x) 为偶函数. B组　能力提升练 51 (3)如果f (4)＝1，f (x－1)＜2，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：依题设有f (4×4)＝f (16)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x) 是偶函数，所以f (x－1)＜2 等价于f (|x－1|)＜f (16). 又f (x) 在(0，＋∞) 上单调递增， 所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17 且x≠1， 所以x 的取值范围是(－15，1)∪(1，17). B组　能力提升练 52 $$