第2章 第8节 对数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第八节　对数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识梳理 知识点一　对数函数 5 2.对数函数的图象与性质   a＞1 0＜a＜1 图象     定义域 ___________ (0，＋∞) 知识梳理 知识点一　对数函数 6   a＞1 0＜a＜1 值域 R 性质 过定点________，即x＝________时，y＝________ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是________函数 在(0，＋∞)上是________函数 (1，0) 1 0 增 减 知识梳理 知识点一　对数函数 7 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反 函数，它们的图象关于直线________对称. y＝x 知识梳理 知识点二　反函数 8 1.函数f(x)＝的定义域是(　　) A.(1，＋∞)　　　　　　　 B.(2，＋∞) C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) D 自我评价 9 2.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A.0＜c＜b＜1＜a B.0＜b＜c＜1＜a C.1＜b＜c＜a D.1＜c＜b＜a A 自我评价 10 3.若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点M，则点M的坐 标为(　　) A.(－1，3) B.(－1，2) C.(－2，2) D.(－2，3) B 自我评价 11 4.函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则 a的值为__________.  2或 自我评价 12 1.函数y＝logax与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. 2.如图，在同一平面直角坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，随a的增大，对数函数的图象越远离 x轴. 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(1)(2025·四川绵阳模拟)已知函数y＝ loga(x＋b)(a，b为常数，其中a＞0且a≠1)的图象如 图所示，则下列结论正确的是(　　) A.a＝0.5，b＝2 B.a＝2，b＝2 C.a＝0.5，b＝0.5 D.a＝2，b＝0.5 [解析]　由图象可得函数在定义域上单调递增，所以a＞1，排除A，C； 又因为函数过点(0.5，0)，所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5. D 考点一　对数函数的图象及应用 15 (2)(2025·江苏南通月考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝log2x的图象上 两个不同的点，则(　　) A.　　　　 B. C. D. B 考点一　对数函数的图象及应用 16 [解析]　如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB的中点为M， 点N在y＝log2x的图象上，且MN∥x轴，则 N， 由图知点N在M的左侧，即. 考点一　对数函数的图象及应用 17 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想. 2.对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 方法总结 18 1.已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1， b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与 g(x)＝x的图象可能是(　　) B 跟踪训练 19 解析：由题意得，ab＝1，所以a＝， 所以g(x)＝x＝logax，则函数f(x)＝ax 与函数g(x)＝x 互为反函数， 所以函数f(x)＝ax 与g(x)＝x 的图象关于直线y＝x 对称，且具有相同的单调性，故B选项符合. 跟踪训练 20 2.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0且a≠1，a，b为常数)的图象如图所示， 则下列结论正确的是(　　) A.a＞0，b＜－1 B.a＞0，－1＜b＜0 C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0 解析：因为函数f(x)＝loga(x－b) 为减函数，所以0＜a＜1.又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1.又因为函数图象与y 轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0. D 跟踪训练 21 角度1　比较对数值的大小 [例2]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.a＞b＞c　　　　　　　 B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b D 考点二　对数函数的性质及应用 22 [解析]　法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图.由图可知c＞a＞b. 考点二　对数函数的性质及应用 23 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助“1”“0”等中间量进行比较 方法总结 24 角度2　解对数不等式(组) [例3]　已知log0.3(3x)＜log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. [解析]　因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，log0.3(3x)＜log0.3(x＋1)， 所以解得x＞，即x的取值范围是. A 考点二　对数函数的性质及应用 25 对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论. 方法总结 26 角度3　对数函数性质的综合应用 [例4]　(多选)下列各问题正确的是(　　 ) A.函数y＝的定义域为∪(1，＋∞) B.函数y＝|x＋3|的单调递增区间为(－∞，－3] C.若函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是 (0，1) D.若定义运算a b＝则函数f(x)＝log2x x的值域是 [0，＋∞) ACD 考点二　对数函数的性质及应用 27 [解析]　由y＝ 即＜x＜1或x＞1，A正确. 函数y＝|x＋3|的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)， 当x＞－3时，y＝(x＋3)，函数单调递减； 当x＜－3时，y＝(－x－3)，函数单调递增； 故函数的单调递增区间为(－∞，－3)，B错误. 考点二　对数函数的性质及应用 28 显然函数u＝x－1在(1，＋∞)上是增函数，而函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上是减函数， 因此对数函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递减，则0＜a＜1， 所以实数a的取值范围是(0，1)，C正确. 依题意，由log2x≥x，得log2x≥－log2x，即2log2x≥0，解得x≥1， 由log2x＜x解得0＜x＜1，因此f(x)＝ 显然函数f(x)在(0，1)上单调递减，取值集合为(0，＋∞)，在[1，＋∞)上单调递增，取值集合是[0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)，D正确. 考点二　对数函数的性质及应用 29 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 方法总结 30 1.(2025·河南开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a＞0，且a≠1)在(0，2) 上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3] B.(1，3) C.(0，1) D.(1，＋∞) 解析：令t(x)＝6－ax，因为a＞0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0，2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax＞0在(0，2)上恒成立，且a＞1， 故有解得1＜a≤3. A 跟踪训练 31 2.(2025·河南郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 A 跟踪训练 32 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|. 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln[g(x)]， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0，3)时，g(x)单调递减，f(x)单调递减， 当x∈(－3，0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，f(x)单调递增. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数. 跟踪训练 33 3.若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为 (　　) A. B. C. D.(1，2) B 跟踪训练 34 解析：令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最 大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0＜a＜1. 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4＜0， 解得＜a＜2. 综上，a的取值范围为. 跟踪训练 35 课时作业　巩固提升 36 1.函数y＝的定义域为(　　) A.[1，＋∞)　　　　　　 B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 37 解析：函数y＝ 即＜x≤1， 故函数的定义域为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 38 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x) ＝(　　) A.log2x B. C.x D.2x－2 解析：由题意知f(x)＝logax(x＞0).因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 39 3.已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则a的值为(　　) A.2或－ B.2或 C.或－ D.1或 解析：当a≥1时，log2a＋1＝2，解得a＝2， 当a＜1时，a2＝2，得a＝－， 所以a的值是2或－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 40 4.已知函数f(x)＝logax(a＞0， 且a≠1)，则y＝f(|x|－1)的 图象可能是(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 41 解析：令y＝g(x)＝f(|x|－1)＝loga(|x|－1)，因为g(－x)＝loga(|－x|－1)＝g(x)，所以g(x) 为偶函数，排除A，D；当x＝3 时，y＝g(3)＝loga(|3|－1)＝loga2，当x＝ 时，y＝g＝loga＝－loga2，所以x＝3 与x＝ 对应的函数值异号，排除C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 42 5.已知函数f(x)＝ln(－2x)－1，则f(lg 3)＋f＝(　　) A.－1 B.0 C.2 D.－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 43 解析：∵f(－x)＝ln－1 ＝ln－1 ＝－ln－1， ∴f(－x)＋f(x)＝－2， ∴f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 44 6.(2025·辽宁沈阳模拟)已知a＝lo7，b＝log415，c＝，则下 列判断正确的是(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 解析：因为a＝log2.57＞log2.52.52＝2，b＝log415＜log416＝2，c＝＝2，所以b＜c＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 45 7.当0＜x＜时，＜logax(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 46 解析：由题意可得当0＜x＜时，y＝的图象位于y＝logax图象的下方， 因为y＝上单调递增， 所以 即 所以 可得≤a＜1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 47 8.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图 所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 解析：由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BC A组　基础保分练 48 9.(多选)已知函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，则下列说法正确的是( 　　) A.f(x)的定义域为(－2，4) B.f(x)在区间(－2，1)上单调递增 C.f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D.f(x)的图象关于直线x＝1对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD A组　基础保分练 49 解析：令解得－2＜x＜4， 所以f(x)的定义域为(－2，4)，故A正确； 函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x) ＝ln[(x＋2)(4－x)] ＝ln(－x2＋2x＋8)(－2＜x＜4)， 令t＝－x2＋2x＋8，则函数t＝－x2＋2x＋8在(－2，1)上单调递增，在 (1，4)上单调递减， 又y＝ln t是增函数， 所以f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，故B正确，C错误； 又t＝－x2＋2x＋8的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 50 10.函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象 上，则f(3)＝__________.  解析：令2x－3＝1，得x＝2，此时y＝8，故定点A(2，8)， 设f(x)＝xα，则f(2)＝2α＝8，得α＝3，故f(3)＝33＝27. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 27 A组　基础保分练 51 11.f(x)＝log2是奇函数，则a＝________.  解析：因为f(x)＝log2是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(－x)＋f(x) ＝log2＋log2 ＝log2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 1 A组　基础保分练 52 ＝log2＝0， 所以＝1，a2＝1，所以a＝1或a＝－1. 当a＝－1时， f(x)＝log2无意义不成立； 当a＝1时， f(x)＝log2，f(－x)＝－f(x)，f(x)＝log2是奇函数成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 53 12.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系： n≤log2(注：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为 0.05 mm的纸最多能对折______次.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 8 A组　基础保分练 54 解析：由题知，n≤log24 200＝ ＝ . 因为log210＝≈， 0＜log2＜1，所以n≤8＋log2，n的最大值为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 55 13.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)， ∴a＝2.由得－1＜x＜3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). A组　基础保分练 56 (2)求f(x)在区间上的最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)] ＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增； 当x∈时，f(x)单调递减， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2. A组　基础保分练 57 14.(多选)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数 D.函数f(x)的值域为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BD B组　能力提升练 58 解析：因为f(x)的定义域为R， f(x)＝log4(1＋4x)－log4＝log4＝log4(2－x＋2x)， 所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确； 令t＝2x，则y＝log4，令s＝t＋，则y＝log4s， 当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数， 又y＝log4s为增函数， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 59 所以y＝log4为增函数， 又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数. 又f(x)为R上的偶函数， 所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为，所以C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 60 15.若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________.  解析：令u(x)＝x2－ax＋，则u(x)有最小值， 欲使函数f(x)＝loga有最小值， 则有 解得1＜a＜，即实数a的取值范围为(1，). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 (1，) B组　能力提升练 61 16.已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求实数a的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：因为函数f(x) 是R上的奇函数，则f(0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0. 经检验，当a＝0 时，f(x)＝－x是R上的奇函数.所以a＝0. B组　能力提升练 62 (2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由已知得函数f(x) 是减函数，故f(x) 在区间[0，1] 上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题意得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)， 所以 解得－＜a≤－. 故实数a 的取值范围是. B组　能力提升练 63 $$