第2章 第7节 指数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第七节　指数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.定义 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 5 2.图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象     知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 6 性质 定义域为________，值域为__________ 图象过定点________ 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 在定义域R上为________ 在定义域R上为________ R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 7 1.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.－2 C.－2 D.2 D 自我评价 8 2.已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b C 自我评价 9 3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是__________.  (－∞，2) 自我评价 10 4.函数f(x)＝的值域为________________________.  (0，1)∪(1，＋∞) 自我评价 11 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象的关键点为(0，1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c＞d＞1＞a＞b＞0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　(1)若实数a，b，c满足a2b＝a3c＝6，则下列不等关系中不可能成 立的是(　　) A.c＜a＜b　　　　　　 B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c D 考点一　指数函数的图象及应用 14 [解析]　由a2b＝a3c＝6，得2b＝3c＝，可知a＞0， 设直线l：y＝，作出y＝2x，y＝3x以及直线l图象如图， 当0＜＜1时，a＞6，b＜c＜0， 当＞1时，0＜a＜6，0＜c＜b. 由上可得a＜b＜c不可能成立. 考点一　指数函数的图象及应用 15 (2)(2025·广东深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的 图象有两个交点，则a的取值范围是_____________.  [解析]　y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下 平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴 上方，且保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合 题意； 考点一　指数函数的图象及应用 16 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 考点一　指数函数的图象及应用 17 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 方法总结 18 1.函数f(x)＝的图象大致为(　　) B 跟踪训练 19 解析：作出函数y＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象. 跟踪训练 20 2.若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为__________.  解析：作出函数y＝|2x－1| 的图象与直线y＝b，如图所示.由图象可得实数b 的取值范围是(0，1). (0，1) 跟踪训练 21 角度1　比较指数式的大小或解不等式 [例2]　(1)(2025·吉林白山模拟)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1， 则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b [解析]　由y＝0.31x单调递减可知0.310.1＞0.310.2，即a＞b； 由y＝x0.1单调递增可知0.320.1＞0.310.1，即c＞a， 所以c＞a＞b. D 考点二　指数函数的性质及应用 22 (2)(2025·上海模拟)不等式的解集为________.  [解析]　函数y＝2x在R上单调递增，则 ⇔⇔x2－2x－3＜ －3(x－1)， 即x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2， 所以原不等式的解集为(－3，2). (－3，2) 考点二　指数函数的性质及应用 23 角度2　与指数函数有关的函数值域问题 [例3]　(1)(2025·山东烟台模拟)函数y＝4|x－2|的值域是(　　) A.(－∞，0) B.(0，1] C.[1，＋∞) D.(－∞，1] [解析]　令t＝|x－2|，则t≥0，因为y＝4t在[0，＋∞)上单调递增，所以4t≥40＝1， 因此函数y＝4|x－2|的值域为[1，＋∞). C 考点二　指数函数的性质及应用 24 (2)函数y＝＋1在区间[－3，2]上的值域是__________.  [解析]　因为x∈[－3，2]，所以若令t＝，则t∈， 故y＝t2－t＋1＝. 当t＝时，ymin＝； 当t＝8时，ymax＝57. 故所求函数值域为. 考点二　指数函数的性质及应用 25 角度3　指数型函数性质的综合应用 [例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递 减，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) [解析]　设t＝x(x－a)，易知函数y＝2t 是增函数.因为y＝2x(x－a) 在(0，1) 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x(x－a) 在(0，1) 上单调递减.因为函数t＝x(x－a) 在 上单调递减，所以≥1，即a≥2. D 考点二　指数函数的性质及应用 26 (2)(多选)(2025·广东广州模拟)已知函数y＝，则下列关于 该函数的说法正确的是(　 　) A.定义域为R B.值域为(0，2] C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减 ABD 考点二　指数函数的性质及应用 27 [解析]　函数y＝的定义域为R，A正确； 因为x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， 所以0＜≤2， 故函数y＝的值域为(0，2]，B正确； 因为y＝在R上单调递减，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确. 考点二　指数函数的性质及应用 28 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图象与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图象与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 方法总结 29 已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的单调区间； 解：令t＝|x|－a，则g(t)＝， 不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增. 又g(t)＝是单调递减的， 因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞). 跟踪训练 30 (2)若f(x)的最大值等于，求实数a的值. 解：由于f(x)的最大值是，且， 所以t＝|x|－a有最小值－2， 即|0|－a＝－2，从而a＝2. 跟踪训练 31 课时作业　巩固提升 32 1.(2025·四川成都模拟)要得到函数y＝的图象，只需将指数函 数y＝的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：由y＝个单位长度，得y＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 33 2.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.c＜a＜b　　　　　　 B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.b＜a＜c 解析：指数函数y＝为减函数，所以，即b＞c.幂函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，所以，即a＜c.因此a＜c＜b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 34 3.已知函数f(x)＝在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范 围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，0] C.[2，＋∞) D.[0，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 35 解析：由题意知函数f(x)＝由y＝，t＝x2－ax复合而成， y＝在R上是单调递减函数， 由f(x)＝在区间[0，1]上是减函数， 可知t＝x2－ax在区间[0，1]上是增函数，所以≤0，解得a≤0， 所以实数a的取值范围是(－∞，0]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 36 4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝(　　) A.－ B.－1 C.1 D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 37 解析：当a＞1 时，该方程组无解，不符合题意；当0＜a＜1 时， 所以a＋b＝－2＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 38 5.若x满足不等式，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D.[2，＋∞) 解析：将化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 39 6.不等式1≤4x－3·2x＋3≤7的解集为(　　) A.[2，4] B.(－∞，0) C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2] 解析：因为1≤4x－3·2x＋3≤7， 所以0＜2x≤1或2≤2x≤4， 所以x≤0或1≤x≤2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 40 7.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在(0，＋∞)上单调递减，则在不等 式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.R 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 41 解析：因为函数y＝xa－1 在(0，＋∞) 上单调递减，所以a－1＜0，即a＜1.因为a＞0，且a≠1，所以0＜a＜1，所以y＝ax 是减函数.又a3x＋1＞a－2x，所以3x＋1＜－2x，所以x＜－，即x 的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 42 8.(多选)(2025·福建福州模拟)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b， 下列等式可以成立的是(　 　) A.a＝b＝0 B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.0＜b＜a 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a 或a＝b＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABD A组　基础保分练 43 9.(多选)已知f(x)＝，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x)在R上单调递减 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 44 解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x) 为奇函数，故A正确，B错误；因为f(x)＝－1，且y＝2x 在R上单调递增，所以y＝－1 在R上单调递减，即f(x) 在R上单调递减，故C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 45 10.已知函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函 数g(x)＝n－mx的图象不经过第__________象限.  解析：因为f(x) 的图象恒过定点(2，2)，所以m＝n＝2，所以g(x)＝2－2x，所以g(x) 在R上为减函数，且其图象过点(0，1)，所以g(x) 的图象不经过第三象限. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 三 A组　基础保分练 46 11.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值. 解：令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a＞1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈. 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 47 当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈. 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去). 综上，a＝3或a＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 48 12.(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a＜b)，则(　　) A.2a＋2b＞2 B.∃a，b∈R，使得0＜a＋b＜1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b＜0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 CD B组　能力提升练 49 解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b＞2＝2， 所以＜1，则a＋b＜0，故B错误，D正确. B组　能力提升练 50 13.写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝_______________.  ①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f'(x)＜0. 解析：∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘， ∴考虑指数函数类型. 又f'(x)＜0，∴f(x)是减函数， ∴f(x)＝e－x满足要求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 e－x(答案不唯一) B组　能力提升练 51 14.德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过n次操作后，若要使保留下来的所有小 正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为__________. (lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 18 B组　能力提升练 52 解析：依题意，第n次操作后共保留4n个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为4n×，若使得，两边取对数可得n≥，即n≥≈17.09， 所以至少操作18次. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 53 15.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：当a＝－2时， f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)＞－3， 可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数. B组　能力提升练 54 (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值 范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由题意有，当x∈(－∞，0)时， －2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， B组　能力提升练 55 令h(k)＝－k(0＜k＜1)， 可知函数h(k)为减函数， 有h(k)＞h(1)＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 56 $$