第2章 第6节 指数与对数的运算-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第六节　指数与对数的运算 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，掌握指数幂的运算性质.　 2.理解对数的概念和运算性质，利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.　 3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义). (2)当n为奇数时，＝________； 当n为偶数时，＝________＝ a |a| 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 5 2.分数指数幂的意义 分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 规定：(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分 数指数幂 规定：(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂________ 没有意义 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 6 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝________(a＞0，r，s∈R). (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R). (3)(ab)r＝________(a＞0，b＞0，r∈R). 4.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. ar＋s arbr 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 7 1.对数的概念 如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作__________，其中________叫作对数的底数，________叫作真数. 以10为底的对数称为常用对数，记作________.  以e为底的对数称为自然对数，记作________.  logaN＝b a N lg N ln N 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 8 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝________(a＞0，且a≠1)； ②logaaN＝________(a＞0，且a≠1)； ③零和负数没有对数. N N 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 9 (2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0) ①loga(MN)＝_______________； ②loga＝_____________； ③logaMn＝________(n∈R). logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 10 (3)对数的重要公式 ①换底公式：logab＝_________(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)； ②logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 11 1.(多选)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是(　 　) A.＝a　　　　　　 B.＝a C.a0＝1 D. BCD 自我评价 12 2.计算：2lg－lg ＝(　　) A.10 B.1 C.2 D.lg 5 B 自我评价 13 3.若＝3，则a－lo＝(　　) A.－1 B.1 C. D.3 B 自我评价 14 4.计算：4＝__________.  10 自我评价 15 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形：logab·logbc·logcd＝logad，lobn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0，m≠0). 3.对数值的符号规律：logab＞0⇔(a－1)(b－1)＞0，logab＜0⇔(a－1)(b－1)＜0(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). 常用结论 16 关键能力　重点探究 17 [例1]　(1)＋(－8＋80.25×＝__________.  [解析]　＋(－8＋80.25×＋(－2)2＋×＋π－2＝＋4＋2＋π－2＝π＋. π＋ 考点一　根式、指数式的化简与求值 18 (2)化简：÷(a＞0，b＞0)＝__________.  [解析]　÷÷ ＝ab÷(a－3b－3＝ab÷(a2b2)＝. 考点一　根式、指数式的化简与求值 19 (3)已知f(x)＝3x＋3－x，且f＝4，则f(a)＝__________.  [解析]　由已知得＝4，所以＝16，即3a＋3－a＋2＝16， 因此3a＋3－a＝14，故f(a)＝3a＋3－a＝14. 14 考点一　根式、指数式的化简与求值 20 指数幂运算的一般原则 1.有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算. 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数.底数是带分数的，先化成假分数. 4.若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 方法总结 21 (多选)下列计算正确的是(　　) A. B.()(－3)÷＝－9a(a＞0，b＞0) C. D.已知x2＋＝2，则x＋＝2 BC 跟踪训练 22 解析：对于A，≠，所以A错误； 对于B，÷＝－9·＝－9a(a＞0，b＞0)，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋)2＝x2＋2＋＝4，所以x＋＝±2，所以D错误. 跟踪训练 23 角度1　对数的运算与化简 [例2]　(1)(2025·河南平顶山模拟)若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为 (　　) A.4　　　　　　　　 B.1或 C.1或4 D. D 考点二　对数式的化简与求值 24 [解析]　∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，∴(x－2y)2＝xy， 即x2－5xy＋4y2＝0，－5＋4＝0， ∴＝0，解得＝1或＝4. 又∵x－2y＞0，且x＞0，y＞0，∴＞2，∴＝4，即. 考点二　对数式的化简与求值 25 (2)已知＝2＋lo6，则a＝(　　) A.log3 B. C.log34 D.2 [解析]　＝2＋lo6＝lo＋lo6＝lo， 得a＝＝log9＝log3. A 考点二　对数式的化简与求值 26 (3)(2024·全国甲卷)已知a＞1，且＝－，则a＝__________.  [解析]　由log2a＝－，得(log2a)2－5log2a－6＝0，∴log2a＝－1，或log2a＝6. 又a＞1，∴log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 64 考点二　对数式的化简与求值 27 对数运算的一般思路 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 方法总结 28 角度2　指数与对数的综合运算 [例3]　(1)(2025·山东德州模拟)已知2a＝7b＝k，若＝1，则k的值 为(　　) A.28　　 B. C.14　　 D. A 考点二　对数式的化简与求值 29 [解析]　∵2a＝7b＝k， ∴a＝log2k，b＝log7k， ∴＝logk2，＝logk7， ∴＝2logk2＋logk7＝logk28＝1， ∴k＝28. 考点二　对数式的化简与求值 30 (2)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. [解析]　由2a＝5 两边同时取以2为底的对数，得a＝log25. 又b＝log83＝log23， ∴a－3b＝log25－log23＝log2＝2log4＝log4， ∴4a－3b＝. C 考点二　对数式的化简与求值 31 (3)设4m＝36，3n＝6，则＝__________.  [解析]　由4m＝36，得2m＝6，则m＝log26，由3n＝6，得n＝log36， ∴＝log62＋log63＝log66＝1. 1 考点二　对数式的化简与求值 32 1.计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝__________.  解析：原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2 ＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2. 2 跟踪训练 33 2.已知a＝log23，4＝3b，则ab＝__________.  解析：∵4＝3b， ∴log24＝blog23，b＝， ∴ab＝log23×＝2. 2 跟踪训练 34 [例4]　(1)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，已知两 次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和 E2，则＝(　　) A.101.05 B.1.05 C.100.75 D.0.75 C 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 35 [解析]　∵lg E＝4.8＋1.5M， ∴lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05， ∴E1＝1016.8，E2＝1016.05， ∴＝100.75. 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 36 (2)(2025·湖南长沙模拟)二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二 维码主要是21×21大小的，即441个点组成.根据0和1的二进制编码规则， 一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有 二维码大约可以用(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.10117万年 B.10118万年 C.10119万年 D.10200万年 A 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 37 [解析]　因为1万年用掉3×1015个二维码，所以大约能用万年， 设x＝， 则lg x＝lg＝lg 2441－(lg 3＋lg 1015)＝441lg 2－lg 3－15≈441×0.301－0.477－15≈117， 即x≈10117万年. 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 38 1.对数螺线广泛应用于科技领域，某种对数螺线可以用ρ＝α表达，其中α为正实数，φ是极角，ρ是极径.若φ每增加个单位，则ρ变为原来的 (　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.eπ倍 B 跟踪训练 39 解析：当极角是φ时，ρ＝α·， 当极角增加个单位时，ρ'＝α·， ∴， ∴ρ'＝ρ. 跟踪训练 40 2.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，是有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q＝2log2，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为________个单位.  解析：由题意得8＝2log2，所以log2＝4，即24＝，所以m＝24×10＝160. 160 跟踪训练 41 课时作业　巩固提升 42 1.下列运算正确的是(　　) A.× B.＝a3 C.÷ D.(－a)9÷a3＝(－a)6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 43 解析：×＝3，A错误； ＝|a3|，B错误； ÷×，C正确； (－a)9÷a3＝(－a9)÷a3＝－a6，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 44 2.(2025·江苏泰州期中)log4()＝(　　) A.4　　　　　　　　 B.2 C. D. 解析：因为＋1－(－1)＝2， 所以log4()＝log42＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 45 3.求值：2log510－log54＝(　　) A.1 B.log516 C.2 D.log596 解析：2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 46 4.计算＋log25－log210的值为(　　) A.－10 B.－8 C.10 D.8 解析：＋log25－log210＝(36＋log2＝9－1＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 47 5.(2025·江苏南通期中)若2a＝5b＝20，则＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：2a＝5b＝20， 则a＝log220，b＝log520， 故＝log204＋log205＝log2020＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 48 6.下列结论中，正确的是(　　) A.若a＞0，则·＝a B.若m8＝2，则m＝± C.若a＋＝3，则＝± D.＝2－π 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 49 解析：对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得·，当a＝1时，＝a；当a≠1时，≠a，故A错误； 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于C，a＋＝3，则＝a＋＋2＝3＋2＝5，因为a＞0，所以，故C错误； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 50 7.射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物 前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度， μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅－241低能γ射线测量钢板 的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种 射线的吸收系数为(　　) (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 解析：由题意可得，t＝0.8，ρ＝7.6，，因为I＝I0e－ρμt，所以＝ e－7.6×0.8×μ，即μ＝≈≈0.114.所以这种射线的吸收系数为0.114. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 51 8.(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　) A. B. C. D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 52 解析：令t＝logab，则t＋， ∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b. ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4， ∴＝2或. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 53 9.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 54 解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k＞0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k， 由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误； ＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故≠，故C错误； ＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 55 10.已知x＋x－1＝4，则x－x－1＝__________.  解析：∵x＋x－1＝4，xx－1＝1，∴(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝42－4＝12， ∴x－x－1＝±2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ±2 A组　基础保分练 56 11.(2025·江苏苏州月考)已知f(x)＝则f(f(－4))＝________.  解析：因为f(x)＝ 由题意，可得f(－4)＝log25，又log25＞1， 故f(f(－4))＝f(log25)＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 57 12.计算下列各值： (1)＋0.1－2－×π0； 解：原式＝＋100－＝100. (2)lg 25＋lg 8－log227×log32＋； 解：原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 58 (3)(log29)×(2)×. 解：(log29)×(2)× ＝2log23×× ＝2lo3× ＝4×＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 59 13.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术. 根据公式v＝v0ln，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s)，其中 v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推 进剂与火箭质量的总和，称为总质比.已知经过材料更新和技术改进 后，某火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的，若要使该火箭在理想状态下的最大速度至少提高v0，则在材料更新和技 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 60 术改进前总质比的最小值约为(参考数据：2.718＜e＜2.719)(　　) A.85 B.86 C.87 D.88 解析：由题意，令v0ln≥v0lnv0，化简得5≥4ln＋1，即ln≥5ln 2＋1，可得≥e5ln 2＋1＝32e≈87，故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 61 14.(多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足 (　　) A.f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B.f(x)－g(x)＝π－x C.f(2x)＝2f(x)g(x) D.[f(x)]2－[g(x)]2＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC B组　能力提升练 62 解析：A正确，f(－x)＝＝－f(x)， g(－x)＝＝g(x)， 所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)； B不正确，f(x)－g(x)＝＝－π－x； C正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 63 D不正确， ＝ ＝ ＝·＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 64 15.(2025·山西运城模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度的正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：h)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数，已知S0＝60%，给氧2 h后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，求至少还需要给氧时间(单位：h)为多少.(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 65 解：设使得血氧饱和度达到90%，给氧时间至少还需要(t－2)h， 由题意可得60e2K＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数， 得K＝lnln＝ln 2－ln 3， Kt＝ln＝ln＝ln 3－ln 2， 则t＝≈≈2.9， 则给氧时间至少还需要0.9 h. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 66 $$