第2章 第8节 对数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数函数的概念、图象与性质及反函数”核心考点，依据高考评价体系明确定义域、单调性、过定点等考查要求。通过梳理考点权重，归纳比较大小、解不等式、复合函数综合应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”，如结合2025年模拟题“当0 < x ≤ 1/2时，4^x < log_a x求a范围”，运用数形结合培养数学思维与几何直观。通过“中间量法”突破对数值比较，“分类讨论”解对数不等式，帮助学生掌握答题技巧。对学生冲刺提分、教师精准教学有重要指导意义。

第八节　对数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识梳理 知识点一　对数函数 5 2.对数函数的图象与性质   a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 _________ 值域 R (0，＋∞) 知识梳理 知识点一　对数函数 6 性质 过定点_________，即x＝_________时，y＝_________ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是_______函数 在(0，＋∞)上是_______函数 (1，0) 1 0 增 减   a＞1 0＜a＜1 知识梳理 知识点一　对数函数 7 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_________对称. y＝x 知识梳理 知识点二　反函数 8 1.函数f (x)＝的定义域是(　　) A.(1，＋∞)　　　　　　　　 B.(2，＋∞) C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) 解析：要使函数f (x)＝ 有意义，只需 即解得x≥2，所以函数f (x)的定义域为[2，＋∞). D 自我评价 9 2.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A.0＜c＜b＜1＜a B.0＜b＜c＜1＜a C.1＜b＜c＜a D.1＜c＜b＜a 解析：作直线y＝1(图略)，则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数，可得0＜c＜b＜1＜a. A 自我评价 10 3.若函数f (x)＝loga(x＋2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点M，则点M的 坐标为(　　) A.(－1，3) B.(－1，2) C.(－2，2) D.(－2，3) 解析：∵当x＝－1时，f (－1)＝loga(－1＋2)＋2＝2，与a的值无关， ∴点M的坐标为(－1，2). B 自我评价 11 4.函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1， 则a的值为__________.  解析：当a＞1时，依题意得loga4－loga2＝1， 解得a＝2；当0＜a＜1时，依题意得loga2－loga4＝1，解得a＝. 2或 自我评价 12 1.函数y＝logax与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. 2.如图，在同一平面直角坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，随a的增大，对数函数的图象越远离x轴. 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(1)(2025·广东深圳调研)已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限　　　　　　 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 [解析]　y＝loga由y＝logax向左平移个单位长度得到.当a＞1时，图象过第一、三、四象限； 当0＜a＜1时，＞1，图象过第二、三、四象限. 故y＝loga一定过第三、四象限. D 考点一　对数函数的图象及应用 15 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图， 则由题意可知只需满足loga， 解得a＞，∴＜a＜1. B 考点一　对数函数的图象及应用 16 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想. 2.对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 方法总结 1.已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b 满足的关系是(　　) A.0＜a－1＜b＜1 B.0＜b＜a－1＜1 C.0＜b－1＜a＜1 D.0＜a－1＜b－1＜1 解析：由函数图象可知，f (x)为增函数，故a＞1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1＜logab＜0， 解得＜b＜1. 综上，0＜a－1＜b＜1. A 跟踪训练 2.(2025·云南曲靖质检)如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝lox，y＝，y＝的图象上，且矩形的边分 别与两坐标轴平行，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是__________.  跟踪训练 解析：由题意，知A点在函数y＝lox的图象上，所以2＝lox，x＝，故A点坐标为.因为B在函数y＝的图象上，AB∥x轴，所以2＝，x＝8.因为C在函数y＝的图象上，BC∥y轴，所以y＝，则C点坐标为，所以D点的坐标是. 跟踪训练 角度1　比较对数值的大小 [例2]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b D 考点二　对数函数的性质及应用 21 [解析]　法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图.由图可知c＞a＞b. 考点二　对数函数的性质及应用 22 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助“1”“0”等中间量进行比较 方法总结 角度2　解对数不等式 [例3]　若loga＜2，则a的取值范围是(　　) A.∪(1，＋∞) B. C. D.∪(1，＋∞) D 考点二　对数函数的性质及应用 24 [解析]　因为loga＜2， 所以loga＜logaa2. 当0＜a＜1时，对数函数为减函数， 所以＞a2， 可得0＜a＜； 当a＞1时，对数函数为增函数， 所以＜a2，可得a＞1. 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞). 考点二　对数函数的性质及应用 25 对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论. 方法总结 角度3　对数函数性质的综合应用 [例4]　(多选)下列各问题正确的是(　 　) A.函数y＝lg(－2kx2－4kx＋3)的定义域为R，则实数k的取值范围是 B.函数f (x)＝ln(1－x2)的单调递增区间为(－1，0) C.已知函数f (x)＝log2(mx2＋4x＋3)，m∈R，若f (x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，则m的取值范围为(－∞，2] D.已知函数f (x)＝log2·log2(8x)，则函数f (x)的值域为(－∞，－9] AB 考点二　对数函数的性质及应用 27 [解析]　由题意可知，－2kx2－4kx＋3＞0恒成立， 当k＝0时，3＞0恒成立， 当k≠0时，解得－＜k＜0， 综上，－＜k≤0，故k的取值范围为，A正确. 因为1－x2＞0⇒－1＜x＜1， 所以函数f (x)＝ln(1－x2)的定义域为(－1，1)， 令g(x)＝ln x，在(0，＋∞)上单调递增， 考点二　对数函数的性质及应用 28 令φ(x)＝1－x2，其对称轴为x＝0，开口向下，单调递增区间为(－∞，0)， 所以f (x)＝ln(1－x2)＝g(φ(x))在定义域(－1，1)上的单调递增区间为(－1，0)，B正确. 因为f (x)在区间[－1，＋∞)上单调递增， 所以mx2＋4x＋3＞0在[－1，＋∞)上恒成立，且t＝mx2＋4x＋3在[－1，＋∞)上单调递增， 所以⇒1＜m≤2，C错误. f (x)＝(log2x－3)(log2x＋3)＝－9， 故f (x)的值域为[－9，＋∞)，D错误. 考点二　对数函数的性质及应用 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 方法总结 1.若函数f (x)＝loga有最大值，则a的取值范围为 (　　) A. B. C. D.(1，2) B 跟踪训练 解析：令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f (x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f (t)＝logat为减函数， 可知0＜a＜1. 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4＜0， 解得＜a＜2. 综上，a的取值范围为. 跟踪训练 2.已知函数f (x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.[2，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1] D.(－∞，0] 解析：由题意得，x2－2x＞0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f (x)的单调递增区间为(2，＋∞). 又因为函数f (x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞). A 跟踪训练 3.已知函数f (x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f (x)＞1在区间[1，2]上 恒成立，则实数a的取值范围是__________.  解析：当a＞1时，f (x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数， 由f (x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f (x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜； 当0＜a＜1时，f (x)在[1，2]上是增函数， 由f (x)＞1在区间[1，2]上恒成立， 得f (x)min＝loga(8－a)＞1，得8－2a＜0，a＞4， 故a不存在. 综上可知，实数a的取值范围是. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 35 1.函数y＝的定义域为(　　) A.[1，＋∞)　　　　　　　 B. C. D. 解析：函数y＝的定义域满足 即解得＜x≤1，故函数的定义域为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 36 2.若函数f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(1，3)，则 f (log28)等于(　　) A.－1 B.1 C.2 D.3 解析：依题意，函数f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1，3)， 则a＝3，所以f (x)＝log3x， 于是得f (log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 37 3.已知函数f (x)＝若f (a)＝2，则a的值为(　　) A.2或－ B.2或 C.或－ D.1或 解析：当a≥1时，log2a＋1＝2，解得a＝2， 当a＜1时，a2＝2，得a＝－， 所以a的值是2或－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 38 4.已知函数f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则y＝f (|x|－1)的图象可能是 (　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 39 解析：令y＝g(x)＝f (|x|－1)＝loga(|x|－1)，因为g(－x)＝loga(|－x|－1)＝g(x)，所以g(x) 为偶函数，排除A，D；当x＝3 时，y＝g(3)＝loga(|3|－1)＝loga2，当x＝ 时，y＝g＝loga＝－loga2，所以x＝3 与x＝ 对应的函数值异号，排除C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 40 5.已知函数f (x)＝ln(－2x)－1，则f (lg 3)＋f ＝(　　) A.－1 B.0 C.2 D.－2 解析：∵f (－x)＝ln－1＝ln－1＝ －ln－1， ∴f (－x)＋f (x)＝－2， ∴f (lg 3)＋f ＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 41 6.若0.8＜0.8＜0，则x1与x2的关系正确的是(　　) A.0＜x2＜x1＜1 B.0＜x1＜x2＜1 C.1＜x1＜x2 D.1＜x2＜x1 解析：因为0.8＜0.8＜0， 所以log0.8x2＜log0.8x1＜0＝log0.81. 又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1＜x1＜x2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 42 7.当0＜x＜时，＜logax(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 43 解析：由题意可得当0＜x＜时，y＝的图象位于y＝logax图象的下方， 因为y＝在上单调递增， 所以 即 所以 可得≤a＜1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 44 8.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图 所示，则下列结论成立的是( 　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 解析：由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BC A组　基础保分练 45 9.(多选)已知函数f (x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，则下列说法正确的是 (　 　) A.f (x)的定义域为(－2，4) B.f (x)在区间(－2，1)上单调递增 C.f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D.f (x)的图象关于直线x＝1对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD A组　基础保分练 46 解析：令解得－2＜x＜4， 所以f (x)的定义域为(－2，4)，故A正确； 函数f (x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x) ＝ln[(x＋2)(4－x)] ＝ln(－x2＋2x＋8)(－2＜x＜4)， 令t＝－x2＋2x＋8，则函数t＝－x2＋2x＋8在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减， 又y＝ln t是增函数， 所以f (x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，故B正确，C错误； 又t＝－x2＋2x＋8的图象关于直线x＝1对称， 所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 47 10.设函数f (x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f (x)的最大值为_____.  解析：f (x)＝log2(4x)·log2(2x) ＝(log24＋log2x)(log22＋log2x) ＝(2＋log2x)(1＋log2x)， 令t＝log2x，∵≤x≤4，∴－2≤t≤2， 则g(t)＝(2＋t)(1＋t)＝t2＋3t＋2＝， ∴当t＝2时，g(t)取得最大值12， 即f (x)的最大值为12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 12 A组　基础保分练 48 11.f (x)＝log2是奇函数，则a＝__________.  解析：因为f (x)＝log2是奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)， 所以f (－x)＋f (x)＝log2＋log2＝log2＝log2＝0， 所以＝1，a2＝1，所以a＝1或a＝－1. 当a＝－1时， f (x)＝log2无意义不成立； 当a＝1时， f (x)＝log2，f (－x)＝－f (x)，f (x)＝log2是奇函数成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 1 A组　基础保分练 49 12.(2025·江西南昌模拟)已知函数f (x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数. (1)求k； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：∵f (x)是偶函数，∴f (－x)＝f (x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x， ∴k＝－1. A组　基础保分练 50 (2)解不等式f (x)≥log3(7·3x－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由(1)得f (x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)， 则不等式f (x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1＞0. 由7·3x－1＞0，解得x＞－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0， 得0＜3x≤，即x≤－log32. 综上，不等式的解集为(－log37，－log32]. A组　基础保分练 13.设f (x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a的值及f (x)的定义域； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：∵f (1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)， ∴a＝2.由得－1＜x＜3， ∴函数f (x)的定义域为(－1，3). A组　基础保分练 52 (2)求f (x)在区间上的最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：f (x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f (x)单调递增； 当x∈时，f (x)单调递减， 故函数f (x)在上的最大值是f (1)＝2. A组　基础保分练 53 14.(多选)(2025·辽宁丹东模拟)已知函数f (x)＝ex和g(x)＝ln x的图象与直 线y＝2－x的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(　 　) A.0＜x1＜1 B.x1＋x2＜2 C.0＜x1x2＜1 D.＋ln x2＝2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ACD B组　能力提升练 54 解析：因为函数f (x)＝ex和g(x)＝ln x互为反函数， 所以函数f (x)＝ex和g(x)＝ln x的图象关于直线 y＝x对称， 由解得 又因为直线y＝2－x与直线y＝x垂直， 所以A，B两点的中点为(1，1)， 所以0＜x1＜1，1＜x2＜2，且x1＋x2＝2，所以A正确，B错误； 由x1x2＝x1(2－x1)＝－＋2x1＝－＋1＜1，可得0＜x1x2＜1，所以C正确； ＋ln x2＝2－x1＋2－x2＝4－(x1＋x2)＝4－2＝2，所以D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 55 15.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝loga(2x－a)在区间上恒有 f (x)＞0，则实数a的取值范围是__________.  解析：当0＜a＜1 时，函数f (x) 在区间 上单调递减，所以loga＞0，即0＜－a＜1，解得＜a＜，故＜a＜1；当a＞1 时，函数f (x) 在区间上单调递增，所以loga(1－a)＞0，即1－a＞1，解得a＜0，此时无解.综上可知，实数a 的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 56 16.设函数g(x)＝log3x，且函数y＝f (x)的图象与y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称. (1)求函数y＝f (x)的解析式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由题意得，f (x)与g(x) 互为反函数. 因为g(x)＝log3x，所以f (x)＝3x. B组　能力提升练 57 (2)是否存在实数m＞0，使得对∀x∈R，不等式2m－3＜mf (x)恒成立?若存在，求出m；若不存在，说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：存在.不等式2m－3＜mf (x) 恒成立，即2m－3＜m·3x 恒成立. 令t＝3x(t＞0)，则关于t 的不等式2m－3＜mt，即mt－2m＋3＞0 在t∈(0，＋∞) 上恒成立. 令h(t)＝mt－2m＋3，t∈(0，＋∞)，因为m＞0，所以h(t) 在(0，＋∞) 上单调递增，由题意知h(0)＝－2m＋3≥0，解得m≤，所以0＜m≤. 所以实数m的取值范围是. B组　能力提升练 58 $$