第2章 第7节 指数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第七节　指数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.定义 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 2.图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象     底数 a>1 0<a<1 性质 定义域为　　　　,值域为　　　　  图象过定点　　　  当x>0时,恒有y>1;当x<0时,恒有0<y<1 当x>0时,恒有0<y<1;当x<0时,恒有y>1 在定义域R上为　　　  在定义域R上为　　　  R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 1.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为(　　) A.2　　　　　　　　　　　 B.-2 C.-2 D.2 D 自我评价 解析:∵函数f(x)是指数函数, ∴a-3=1,∴a=8, ∴f(x)=8x,故f==2. 2.(人A必修第一册P119T6改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析:因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7, 故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a. C 3.(人A必修第一册P119T3改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是 　　　　　.  解析:由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2). (-∞,2) 4.函数f(x)=的值域为　　　 　　.  解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠1},所以≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函数的值域为(0,1)∪(1,+∞). (0,1)∪(1,+∞) 1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象的关键点为(0,1),(1,a),. 2.如图所示是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(1)(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A.1对　　　　　　　　 B.2对 C.3对 D.4对 C 考点一　指数函数的图象及应用 [解析]　作出当x≥0时,f(x)=关于原点对称的函数g(x)=-(x≤0)的图象, 同时作出f(x)=-|x2+2x|(x<0)的图象,如图. 当x=-1时,g(-1)=-,f(-1)=-1,∴g(-1)>f(-1), ∴g(x)与f(x)(x<0)图象有3个交点. 故f(x)图象上关于原点对称的点有3对. (2)(2025·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有 两个交点,则a的取值范围是　　　　　.  [解析]　y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,且保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 方法总结 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 跟踪训练 1.函数f(x)=的图象大致为(　　) B 解析:作出函数y=的图象,如图所示,将y=的图象向左平移1个单位得到f(x)=的图象. 2.若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围为　　　　　.  解析:作出函数y=|2x-1| 的图象与直线y=b,如图所示.由图象可得实数b 的取值范围是(0,1). (0,1) 角度1　比较指数式的大小或解不等式 [例2]　(1)(2025·吉林白山模拟)已知a=0.310.1,b=0.310.2,c=0.320.1,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b D 考点二　指数函数的性质及应用 [解析]　由y=0.31x单调递减可知0.310.1>0.310.2,即a>b; 由y=x0.1单调递增可知0.320.1>0.310.1,即c>a, 所以c>a>b. (2)(2025·上海模拟)不等式<的解集为　　　　　.  [解析]　函数y=2x在R上单调递增,则 <⇔<⇔x2-2x-3<-3(x-1), 即x2+x-6<0,解得-3<x<2, 所以原不等式的解集为(-3,2). (-3,2) 角度2　与指数函数有关的函数值域问题 [例3]　(1)(2025·山东烟台模拟)函数y=4|x-2|的值域是(　　) A.(-∞,0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,1] [解析]　令t=|x-2|,则t≥0,因为y=4t在[0,+∞)上单调递增,所以4t≥40=1, 因此函数y=4|x-2|的值域为[1,+∞). C (2)函数y=-+1在区间[-3,2]上的值域是　　　　 　.  [解析]　因为x∈[-3,2],所以若令t=,则t∈, 故y=t2-t+1=+. 当t=时,ymin=; 当t=8时,ymax=57. 故所求函数值域为. 角度3　指数型函数性质的综合应用 [例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) D [解析]　设t=x(x-a),易知函数y=2t 是增函数.因为y=2x(x-a) 在(0,1) 上单调递减,所以由复合函数的单调性可知函数t=x(x-a) 在(0,1) 上单调递减.因为函数t=x(x-a) 在 上单调递减,所以≥1,即a≥2. 高考溯源▶(人A必修第一册P120T9)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式,并画出图象; (2)判断该函数的奇偶性和单调性. (2)(多选)(2025·广东广州模拟)已知函数y=,则下列关于该函数的说法正确的是(　　 ) A.定义域为R B.值域为(0,2] C.在[-2,+∞)上单调递增 D.在[-2,+∞)上单调递减 ABD [解析]　函数y=的定义域为R,A正确; 因为x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1, 所以0<≤2, 故函数y=的值域为(0,2],B正确; 因为y=在R上单调递减,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 所以函数y=在[-2,+∞)上单调递减,C错误,D正确. 方法总结 解决指数函数有关问题,思路是从它们的图象与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图象与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响. 跟踪训练 已知函数f(x)=. (1)求f(x)的单调区间; 解:令t=|x|-a,则g(t)=, 不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增. 又g(t)=是单调递减的, 因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). (2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值. 解: 由于f(x)的最大值是,且=, 所以t=|x|-a有最小值-2, 即|0|-a=-2,从而a=2. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.(2025·四川成都模拟)要得到函数y=的图象,只需将指数函数y=的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 D A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由y==向右平移个单位长度,得y==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.若a=,b=,c=,则(　　) A.c<a<b　　　　　　　 B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c C 解析:指数函数y=为减函数,所以>,即b>c.幂函数y=在区间(0,+∞)上为增函数,所以<,即a<c.因此a<c<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.函数y=的单调递增区间是(　　) A.[1,2] B.[1,3] C.(-∞,2] D.[2,+∞) D 解析:y==,因为y=3u 在R上单调递增,u=x2-4x在(-∞,2) 上单调递减,在[2,+∞) 上单调递增,所以y= 在(-∞,2) 上单调递减,在[2,+∞) 上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=(　　) A.- B.-1 C.1 D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:当a>1 时,该方程组无解,不符合题意;当0<a<1 时, 解得 所以a+b=-2=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.若x满足不等式≤,则函数y=2x的值域是(　　) A. B. C. D.[2,+∞) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:将≤化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.不等式1≤4x-3·2x+3≤7的解集为(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] D 解析:因为1≤4x-3·2x+3≤7, 所以0<2x≤1或2≤2x≤4, 所以x≤0或1≤x≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知a>0,且a≠1,若函数y=xa-1在(0,+∞)上单调递减,则在不等式 a3x+1>a-2x中,x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.R A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为函数y=xa-1 在(0,+∞) 上单调递减,所以a-1<0,即a<1.因为a>0,且a≠1,所以0<a<1,所以y=ax 是减函数.又a3x+1>a-2x,所以3x+1<-2x,所以x<-,即x 的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)(2025·福建福州模拟)已知实数a,b满足等式2 025a=2 026b,下列等式可以成立的是(　　 ) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)已知f(x)=,则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x)在R上单调递减 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)===-=-f(x),所以f(x) 为奇函数,故A正确,B错误;因为f(x)==-1,且y=2x 在R上单调递增,所以y=-1 在R上单调递减,即f(x) 在R上单调递减,故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　　象限.  解析:因为f(x) 的图象恒过定点(2,2),所以m=n=2,所以g(x)=2-2x,所以g(x) 在R上为减函数,且其图象过点(0,1),所以g(x) 的图象不经过第三象限. 三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x∈[-1,1], 所以t∈. 又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 所以ymax=(a+1)2-2=14, 解得a=3或a=-5(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当0<a<1时,因为x∈[-1,1], 所以t∈. 又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 则ymax=-2=14, 解得a=或a=-(舍去). 综上,a=3或a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选)已知函数f(x)=|2x-1|,实数a,b满足f(a)=f(b)(a<b),则(　　) A.2a+2b>2 B.∃a,b∈R,使得0<a+b<1 C.2a+2b=2 D.a+b<0 CD B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:画出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示. 由图知1-2a=2b-1,则2a+2b=2,故A错误,C正确; 由基本不等式可得2=2a+2b>2=2, 所以<1,则a+b<0,故B错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.写出一个同时具备下列性质的函数f(x)=　　　 　　.  ①f(x+1)=f(x)f(1);②f'(x)<0. 解析:∵f(x+1)=f(x)f(1)是加变乘, ∴考虑指数函数类型. 又f'(x)<0,∴f(x)是减函数, ∴f(x)=e-x满足要求. e-x(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.德国数学家康托尔是集合论的创始人,以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下:第一次操作,将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形,保留靠角的4个,删除其余5个;第二次操作,将第一次剩余的每个小正方形继续9等分,并保留每个小正方形靠角的4个,其余正方形删除;以此方法继续下去,经过n次操作后,若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过,则至少需要操作的次数为　　　　　.(lg 2=0.301 0, lg 3=0.477 1)  18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:依题意,第n次操作后共保留4n个小正方形,其边长为,所以保留下来的所有小正方形面积之和为4n×=,若使得≤,两边取对数可得n≥,即n≥==≈17.09, 所以至少操作18次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2. (1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:当a=-2时, f(x)=4x-2×2x-2=(2x-1)2-3, 令2x=t,由x∈(0,+∞),可得t∈(1,+∞). 令g(t)=(t-1)2-3,有g(t)>-3, 可得函数f(x)的值域为(-3,+∞), 故函数f(x)在(0,+∞)上不是有界函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解: 由题意有,当x∈(-∞,0)时, -2≤4x+a·2x-2≤2, 可化为0≤4x+a·2x≤4, 必有a·2x≥0且a≤-2x. 令2x=k,由x∈(-∞,0),可得k∈(0,1), 由a·2x≥0恒成立,可得a≥0, 令h(k)=-k(0<k<1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 可知函数h(k)为减函数, 有h(k)>h(1)=4-1=3, 由a≤-2x恒成立,可得a≤3, 若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,则实数a的取值范围为[0,3]. $$