第2章 第5节 幂函数与二次函数-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第五节　幂函数与二次函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过具体实例，理解幂函数的概念.　 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象，理解它们的变化规律.　 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.幂函数的概念 我们把形如________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. y＝xα 知识梳理 知识点一　幂函数 5 2.5个简单幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} __________ 值域 R {y|y≥0} R __________ {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 ________ {x|x≠0} {y|y≥0} 奇函数 知识梳理 知识点一　幂函数 6 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象   知识梳理 知识点一　幂函数 7 1.二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝________________. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 知识梳理 知识点二　二次函数 8 2.二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 图象     定义域 R 值域 知识梳理 知识点二　二次函数 9 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 单调性 在上单调递减，在上单调递增　　 在上单调递增，在上单调递减　　 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象 特点 对称轴：x＝－； 顶点： 知识梳理 知识点二　二次函数 10 1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A.　　　　　　　　　 B.1 C. D.2 C 自我评价 11 2.函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A.[－6，2] B.[－6，1] C.[0，2] D.[0，1] A 自我评价 12 3.已知幂函数f(x)＝.若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围为__________.  (3，5) 自我评价 13 4.若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上单调递增，则t的取值范围是__________.  (－∞，1] 自我评价 14 幂函数y＝xα 的图象在第一象限内的变化规律 1.直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α 由大到小. 2.y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α 由小到大. 3.α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增. α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减. 常用结论 15 关键能力　重点探究 16 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.幂函数f(x)＝(m2＋m－5)在区间(0，＋∞)上单调递增，则 m＝2或m＝－3 B.幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝2 C.幂函数y＝xa中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 D.“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件 BCD 考点一　幂函数的图象与性质 17 [解析]　对于A，由题意得，m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2 或m＝－3. 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3， 此时函数f(x) 在区间(0，＋∞) 上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时函数f(x) 在区间(0，＋∞) 上单调递减，不符合题意，A错误. 对于B，由幂函数的定义，知m2－3m＋3＝1， 解得m＝1 或m＝2.当m＝1 时，f(x)＝x的图象不关于y 轴对称，舍去； 当m＝2 时，f(x)＝x2的图象关于y 轴对称， 因此m＝2，B正确. 考点一　幂函数的图象与性质 18 对于C， a＝－1时，y＝定义域和值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，符合题意； a＝0时，y＝x0定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为{1}，故不符合题意； a＝时，y＝定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，符合题意； a＝1时，y＝x定义域与值域均为R，符合题意； a＝2时，y＝x2定义域为R，值域为[0，＋∞)，不符合题意； a＝3时，y＝x3定义域与值域均为R，符合题意，C正确. 考点一　幂函数的图象与性质 19 对于D，因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数， 所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0， 解得n＝1或n＝2， 当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增. 所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)·在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件，D正确. 考点一　幂函数的图象与性质 20 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 方法总结 21 1.已知幂函数的图象经过点P(8，4)，则该幂函数的大致图象是(　　) C 跟踪训练 22 解析：设幂函数为f(x)＝xα，则8α＝4，23α＝22，得3α＝2，得α＝， 所以f(x)＝，定义域为R，所以排除A，D； 因为f(－x)＝＝f(x)，所以函数为偶函数，所以排除B. 跟踪训练 23 2.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c　　　　　 B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c 解析：因为y＝在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝.因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. D 跟踪训练 24 角度1　二次函数的图象 [例2]　(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且 对称轴为直线x＝－1，则以下选项正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b AD 考点二　二次函数的图象与性质 25 [解析]　∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确； ∵对称轴为直线x＝－＝－1，∴b＝2a， 即2a－b＝0，故B错误； 由图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋ c＞0，故C错误； 把x＝1，x＝－3代入解析式可得a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，两式相加整理可得5a－b＝－c.又当x＝0时，y＝c＞0，∴5a－b＜0，故D正确. 考点二　二次函数的图象与性质 26 角度2　二次函数的最值问题 [例3]　已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式. [解]　①当0＜≤1，即a≥时， f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. 考点二　二次函数的图象与性质 27 ②当1＜＜2，即＜a＜时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1. 考点二　二次函数的图象与性质 28 ③当≥2，即0＜a≤时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述， g(a)＝ 考点二　二次函数的图象与性质 29 二次函数性质问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴和区间都是固定的；(2)对称轴动，区间固定；(3)对称轴定，区间动. 2.求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴.结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 方法总结 30 1.设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) D 跟踪训练 31 解析：因为abc＞0， 所以在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意； 在B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意； 在C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意； 在D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意. 跟踪训练 32 2.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为____________.  解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0 时，函数f(x) 在区间[－1，2] 上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0 时，函数f(x) 在区间[－1，2] 上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；当a＜0 时，函数f(x) 在区间[－1，2] 上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a 的值为 或－3. 或－3 跟踪训练 33 课时作业　巩固提升 34 1.“m＝－2或m＝1”是“幂函数f(x)＝(m2－m－5)在(0，＋∞) 上是减函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 35 解析：幂函数f(x)＝(m2－m－5)在(0，＋∞)上是减函数， 则解得m＝－2， 故“m＝－2或m＝1”是“幂函数f(x)＝(m2－m－5)在(0， ＋∞)上是减函数”的必要不充分条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 36 2.函数y＝1－|x－x2|的图象大致是(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解析：当0≤x≤1 时，y＝x2－x＋1＝；当x＞1 或x＜0 时，y＝－x2＋x＋1＝－，因此，结合图象可知选项C正确. C A组　基础保分练 37 3.(2025·江苏无锡期中)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴 没有公共点，则f()＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C.2 D.2 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1， 又f(x)的图象与坐标轴无公共点，故m＜0，所以m＝－2， 故f(x)＝x－2，所以f()＝()－2＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 38 4.已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析：由题意得b＝＝a， a＝＜4＜5＝＝c， 所以b＜a＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 39 5.函数y＝x，y＝x2和y＝的图象如图所示，有下列四个说法：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞，那么a＞1； ③如果＞a2＞a，那么－1＜a＜0； ④如果a2＞＞a时，那么a＜－1. 其中正确的是(　　) A.①④ B.① C.①② D.①③④ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 40 解析：易知函数y＝x，y＝x2和y＝的图象交点坐标 为(1，1)，函数y＝x与y＝的图象还有一个交点 (－1，－1)，当三个函数的图象依y＝，y＝x， y＝x2次序呈上下关系时，0＜x＜1，故①正确.当三 个函数的图象依y＝x2，y＝x，y＝次序呈上下关系 时，－1＜x＜0或x＞1，故②错误.由于三个函数的图象没有出现y＝，y＝x2，y＝x次序的上下关系，故③错误.当三个函数的图象依y＝x2，y＝，y＝x次序呈上下关系时，x＜－1，故④正确.所以正确的有①④. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 41 6.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，6]，则实数 m的取值范围是(　　) A.(0，1] B.[1，3] C.(0，2] D.[1，2] 解析：f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开 口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5，6]， 由图可知，m的取值范围是[1，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 42 7.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x＋2)是偶函数，则下列大小关系可能 正确的是(　　) A.f(2)＜f＝c B.f＜f(x)＜c C.f(2)＞f＞c D.f＜f(2)＝c 解析：因为f(x＋2) 是偶函数，所以直线x＝2 是y＝f(x) 图象的对称轴.f＝a·＋b·＋c＝c，这样B，C，D均不可能成立.当a＞0 时，f(2)是最小值，因此f(2)＜f＝c 成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 43 8.(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)在(0，＋∞)上单调递增，则以 下说法正确的是(　 　) A.m＝3 B.函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD A组　基础保分练 44 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·在(0，＋∞)上单调递增， 所以解得m＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， 故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 45 9.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则 下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(－1，0)上单调递增 C.f(x)＞0的解集为(－1，1) D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 AD A组　基础保分练 46 解析：由题意，当x≥0 时，f(x)＝x－x2＝－；当x＜0 时，f(x)＝－x2－x＝，f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；当x≥0 时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0 时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 47 10.设幂函数f(x)＝m，则不等式f(3－a)＞f(2a)的解集为________.  解析：因为f(x)＝m是幂函数，所以m＝1，f(x)＝， 因为函数f(x)＝的定义域为 (0，＋∞)，且－＜0， 所以函数f(x)＝在 (0，＋∞)上单调递减， 所以由f(3－a)＞f(2a)，可得 解得1＜a＜3，所以不等式的解集为(1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 (1，3) A组　基础保分练 48 11.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)， 则实数m的取值范围是__________.  解析：依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1， 因为函数f(x) 在区间[0，1] 上单调递减，所以a＞0，即函数图象开口向 上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0) 时，有0≤m≤2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 [0，2] A组　基础保分练 49 12.已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝. ①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min＝f＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 50 ②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 51 13.已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)在(0，＋∞)上单调递减. (1)求m的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以m＋2＜0，即m＜－2， 则m＝－3. A组　基础保分练 52 (2)若(2a－1＜(a＋3，求a的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：设g(x)＝x3，则g(x)是增函数. 由(1)可知(2a－1＜(a＋3，即(2a－1)3＜(a＋3)3， 则2a－1＜a＋3，解得a＜4， 即a的取值范围为(－∞，4). A组　基础保分练 53 14.(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2，3]上的最大值为6， 则a等于(　　) A.－ B. C.－5 D.5 解析：显然a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1， 当a＞0时，f(x)在[－2，3]上的最大值为f(3)＝15a＋1， 由15a＋1＝6，解得a＝，符合题意； 当a＜0时，f(x)在[－2，3]上的最大值为f(－1)＝1－a， 由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意， 所以a的值为或－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BC B组　能力提升练 54 15.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范 围是________.  解析：当0≤x＜1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，所以≤0，即m≤0； 当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，所以－≤1，即m≥－2. 综上，实数m的取值范围是[－2，0]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 [－2，0] B组　能力提升练 55 16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(0，0)，(5，0)，且最小值为－. (1)求函数的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由题意设函数的解析式为y＝ax(x－5)(a＞0)， 由已知可得二次函数图象的顶点坐标为， 代入得－＝a××，解得a＝2， 所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x. B组　能力提升练 56 (2)当t≤x≤t＋1时，该函数的最小值为－12，求此时t的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由(1)知y＝2x2－10x＝2， 其图象开口向上，对称轴为直线x＝， 当t＋1≤，即t≤时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递减， 所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值， 所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1； B组　能力提升练 57 当t＜＜t＋1，即＜t＜时，y＝2x2－10x在x＝时取得最小值－，不满足题意； 当t≥时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递增， 所以当x＝t时，y＝2x2－10x取得最小值， 所以2t2－10t＝－12，解得t＝3或t＝2(舍去). 综上所述，t的值为1或3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 58 $$