第2章 第7节 指数函数的图象与性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第七节　指数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.定义 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 5 2.图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 6 性质 定义域为_________，值域为___________ 图象过定点_________ 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 在定义域R上为_________ 在定义域R上为_________ R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 7 1.若函数f (x)＝·ax是指数函数，则f 的值为(　　) A.2　　　　　　　　　　　 B.－2 C.－2 D.2 解析：∵函数f (x)是指数函数， ∴a－3＝1，∴a＝8， ∴f (x)＝8x，故f ＝2. D 自我评价 8 2.已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7， 故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a. C 自我评价 9 3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是__________.  解析：由指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x 的取值范围是(－∞，2). (－∞，2) 自我评价 10 4.函数f (x)＝的值域为__________________.  解析：因为f (x)的定义域为{x|x≠1}，所以≠0，故f (x)＞0且f (x)≠1，即函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (0，1)∪(1，＋∞) 自我评价 11 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象的关键点为(0，1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c＞d＞1＞a＞b＞0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　(1)(2025·山东潍坊模拟)已知函数f (x)＝则 f (x)图象上关于原点对称的点有(　　) A.1对　　　　　　　　 B.2对 C.3对 D.4对 C 考点一　指数函数的图象及应用 14 [解析]　作出当x≥0时，f (x)＝关于原点对称的函数g(x)＝ －(x≤0)的图象， 同时作出f (x)＝－|x2＋2x|(x＜0)的图象，如图. 当x＝－1时，g(－1)＝－，f (－1)＝－1， ∴g(－1)＞f (－1)， ∴g(x)与f (x)(x＜0)图象有3个交点. 故f (x)图象上关于原点对称的点有3对. 考点一　指数函数的图象及应用 15 (2)(2025·广东深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1) 的图象有两个交点，则a的取值范围是__________.  [解析]　y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，且保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 考点一　指数函数的图象及应用 16 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 方法总结 17 1.(多选)(2025·山东青岛质检)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当 x1∈[0，1)时，的值可能是(　 　) A.－1 B.－2 C.－3 D.0 解析：表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k. M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)图象上的动点，如图，B(1，e)， 则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足. BC 跟踪训练 18 2.函数f (x)＝的图象大致为(　　) 解析：作出函数y＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f (x)＝的图象. B 跟踪训练 19 角度1　比较指数式的大小或解不等式 [例2]　(1)(2025·吉林白山模拟)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1， 则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b [解析]　由y＝0.31x单调递减可知0.310.1＞0.310.2，即a＞b； 由y＝x0.1单调递增可知0.320.1＞0.310.1，即c＞a， 所以c＞a＞b. D 考点二　指数函数的性质及应用 20 (2)已知p：ax＜1(a＞1)，q：2x＋1－x＜2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 考点二　指数函数的性质及应用 21 [解析]　∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数， ∴p：{x|x＜0}. 对于不等式2x＋1＜x＋2， 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示. 由图象可知，不等式2x＋1＜x＋2的解集为{x|－1＜x＜0}， ∴q：{x|－1＜x＜0}. 又∵{x|－1＜x＜0}⊆{x|x＜0}， ∴p是q的必要不充分条件. 考点二　指数函数的性质及应用 22 角度2　与指数函数有关的函数值域问题 [例3]　(1)(2025·江苏无锡模拟)已知“高斯函数”的定义为“设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数”，例如：[－2.5] ＝－3，[2.7]＝2.已知函数f (x)＝，则函数[f (x)]的值域是(　　) A.{－1，1} B.{－1，0} C.(－1，1) D.(－1，0) B 考点二　指数函数的性质及应用 23 [解析]　法一：函数f (x)＝＝1－， 因为ex＞0，所以1＋ex＞1，所以0＜＜1，因此－2＜－＜0， 所以－1＜1－＜1，即－1＜f (x)＜－1.当－1＜f (x)＜0时，[f (x)]＝－1； 当0≤f (x)＜1时，[f (x)]＝0，因此[f (x)]的值域为{－1，0}. 法二：由f (x)＝，得ex＝，因为ex＞0，所以＞0，解得－1＜f (x)＜1. 当－1＜f (x)＜0时，[f (x)]＝－1；当0≤f (x)＜1时，[f (x)]＝0， 因此[f (x)]的值域为{－1，0}. 考点二　指数函数的性质及应用 24 (2)已知函数f (x)＝，若f (x)有最大值3，则a的值为_______.  [解析]　令g(x)＝ax2－4x＋3，则f (x)＝. ∵f (x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 1 考点二　指数函数的性质及应用 25 角度3　指数型函数性质的综合应用 [例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递 减，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) [解析]　设t＝x(x－a)，易知函数y＝2t 是增函数.因为y＝2x(x－a) 在(0，1) 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x(x－a) 在(0，1) 上单调递减.因为函数t＝x(x－a) 在 上单调递减，所以≥1，即a≥2. D 考点二　指数函数的性质及应用 26 高考溯源▶(人A必修第一册P120T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 考点二　指数函数的性质及应用 27 (2)(多选)(2025·广东广州模拟)已知函数y＝，则下列关于该 函数的说法正确的是( 　　) A.定义域为R B.值域为(0，2] C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减 ABD 考点二　指数函数的性质及应用 28 [解析]　函数y＝的定义域为R，A正确； 因为x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， 所以0＜≤2， 故函数y＝的值域为(0，2]，B正确； 因为y＝在R上单调递减，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确. 考点二　指数函数的性质及应用 29 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图象与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图象与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 方法总结 30 已知函数f (x)＝. (1)求f (x)的单调区间； 解：令t＝|x|－a，则g(t)＝， 不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增. 又g(t)＝是单调递减的， 因此f (x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞). 跟踪训练 31 (2)若f (x)的最大值等于，求实数a的值. 解：由于f (x)的最大值是，且， 所以t＝|x|－a有最小值－2， 即|0|－a＝－2，从而a＝2. 跟踪训练 32 课时作业　巩固提升 33 1.(2025·四川成都模拟)要得到函数y＝的图象，只需将指数函 数y＝的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：由y＝向右平移个单位长度，得y＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 34 2.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.c＜a＜b　　　　　　 B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.b＜a＜c 解析：因为函数y＝为减函数，所以，即b＞c.又函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，所以，即a＜c.因此a＜c＜b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 35 3.(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝4x－2x＋1＋4，x∈[－1，1]，则 函数y＝f (x)的值域为(　　) A.[3，＋∞) B.[3，4] C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 36 解析：f (x)＝－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t， 则t＝2x 在[－1，1] 上单调递增， 即≤t≤2， 于是y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3， 当t＝1 时，ymin＝3，此时x＝0，f (x)min＝3； 当t＝2 时，ymax＝4， 此时x＝1，f (x)max＝4，所以函数y＝f (x) 的值域为[3，4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 37 4.已知函数f (x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]， 则a＋b＝(　　) A.－ B.－1 C.1 D. 解析：当a＞1 时，该方程组无解，不符合题意；当0＜a＜1 时， 解得 所以a＋b＝－2＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 38 5.若x满足不等式≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D.[2，＋∞) 解析：将≤化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 39 6.不等式1≤4x－3·2x＋3≤7的解集为(　　) A.[2，4] B.(－∞，0) C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2] 解析：因为1≤4x－3·2x＋3≤7， 所以0＜2x≤1或2≤2x≤4. 所以x≤0或1≤x≤2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 40 7.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在(0，＋∞)上单调递减，则在不等 式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.R 解析：因为函数y＝xa－1 在(0，＋∞) 上单调递减，所以a－1＜0，即a＜1.因为a＞0，且a≠1，所以0＜a＜1，所以y＝ax 是减函数.又a3x＋1＞a－2x，所以3x＋1＜－2x，所以x＜－，即x 的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 41 8.(多选)(2025·福建福州模拟)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b， 下列等式可以成立的是(　 　) A.a＝b＝0 B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.0＜b＜a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0. ABD A组　基础保分练 42 9.(多选)已知f (x)＝，则(　 　) A.f (x)为奇函数 B.f (x)为偶函数 C.f (x)在R上单调递增 D.f (x)在R上单调递减 解析：f (x)的定义域为R，关于原点对称，因为f (－x)＝＝－＝－f (x)，所以f (x) 为奇函数，故A正确，B错误；因为f (x)＝－1，且y＝2x 在R上单调递增，所以y＝－1 在R上单调递减，即f (x) 在R上单调递减，故C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 43 10.已知定义域为R的函数f (x)＝－，则关于t的不等式f (t2－2t) ＋f (2t2－1)＜0的解集为__________________________.  解析：由题意知f (x)是奇函数，且在R上为减函数， 所以f (t2－2t)＋f (2t2－1)＜0， 可化为f (t2－2t)＜－f (2t2－1)＝f (1－2t2)， 所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－. 即不等式的解集为∪(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ∪(1，＋∞) A组　基础保分练 44 11.(2025·湖北武汉模拟)函数f (x)＝a2x＋ax＋1(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为13，求实数a的值. 解：由f (x)＝a2x＋ax＋1， 令ax＝t，则t＞0， 则y＝t2＋t＋1＝， 其对称轴为t＝－. 该二次函数在上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 45 ①若a＞1，由x∈[－1，1]，得t＝ax∈， 故当t＝a，即x＝1时， ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去). ②若0＜a＜1，由x∈[－1，1]， 得t＝ax∈， 故当t＝，即x＝－1时， ymax＝＋1＝13， 解得a＝或a＝－(舍去). 综上可得，a＝3或. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 46 12.已知函数f (x)＝2x的定义域是[0，3]，设g(x)＝f (2x)－f (x＋2). (1)求g(x)的解析式及定义域； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：因为f (x)＝2x， 所以g(x)＝f (2x)－f (x＋2)＝22x－2x＋2. 因为f (x) 的定义域是[0，3]， 所以 解得0≤x≤1. 即g(x) 的定义域为[0，1]. A组　基础保分练 47 (2)求函数g(x)的最大值和最小值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)知g(x)＝－4×2x＝－4. 因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]， 所以当2x＝2，即x＝1 时，g(x)取得最小值－4， 当2x＝1，即x＝0 时，g(x)取得最大值－3. A组　基础保分练 48 13.(多选)已知函数f (x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法 正确的是(　　) A.m＝ B.函数f (x)在R上的最大值为 C.函数f (x)是减函数 D.存在实数n，使得关于x的方程f (x)－n＝0有两个不相等的实数根 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC B组　能力提升练 49 解析：因为函数f (x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝m－＝0， 解得m＝，此时f (x)＝， 则f (－x)＝ ＝－1＋ ＝＝－f (x)，符合题意，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 50 又f (x)＝， 因为ex＞0，所以ex＋1＞1，则0＜＜1， 所以－＜f (x)＜， 即f (x)∈，故B错误； 因为y＝ex是增函数，y＝ex＞0， 且y＝在(0，＋∞)上单调递减， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 51 所以f (x)＝是减函数，故C正确； 因为f (x)是减函数， 所以y＝f (x)与y＝n最多有1个交点， 故f (x)－n＝0最多有一个实数根， 即不存在实数n，使得关于x的方程f (x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 52 14.(2025·浙江宁波模拟)对于函数f (x)，若在定义域内存在实数x0满足 f (－x0)＝－f (x0)，则称函数f (x)为“倒戈函数”.设f (x)＝3x＋m－1 (m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值 范围是_____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 53 解析：∵f (x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1，1]满足f (－x0)＝－f (x0)， ∴＋m－1＝－－m＋1， ∴2m＝－＋2， 构造函数y＝－＋2，x0∈[－1，1]， 令t＝，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1，3]上单调递减， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 54 ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈. 又∵m≠0，∴－≤2m＜0，∴－≤m＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 55 15.(2025·江苏镇江模拟)已知f (x)＝(a＞0)为奇函数. (1)求实数a的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f (x)是奇函数，则f (0)＝＝0，解得a＝2， 所以f (x)＝且定义域为R， f (－x)＝＝－f (x)， 综上，a＝2. B组　能力提升练 56 (2)判断并用定义法证明函数f (x)的单调性； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：f (x)＝在R上单调递增，证明如下： 设x1＜x2，而f (x1)－f (x2)＝ ＝， 而，(＋1)(＋1)＞0， 故f (x1)－f (x2)＜0， 即f (x1)＜f (x2)， 所以函数f (x)是单调递增函数. B组　能力提升练 57 (3)解关于x的不等式0＜f (x2－x)≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f (x)在R上单调递增， 令f (x)＝·＝0，解得x＝0，令f (x)＝，解得x＝2， 所以原不等式0＜f (x2－x)≤等价于f (0)＜f (x2－x)≤f (2)， 所以0＜x2－x≤2，故解集为{x|－1≤x＜0或1＜x≤2}. B组　能力提升练 58 $$