第2章 第6节 指数与对数的运算-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第六节　指数与对数的运算 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质,利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.　3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.根式的性质 (1)()n=a(a使有意义). (2)当n为奇数时,=　　　　;  当n为偶数时,=　　　　=  a |a| 知识点一　指数与指数运算 知识梳理 2.分数指数幂的意义 分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 规定:=(a>0,m,n∈N*,n>1) 正数的负分 数指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N*,n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 　　　　　　　  没有意义 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=　　　　(a>0,r,s∈Q).  (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q).  4.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. ar+s arbr 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 　　　　　　,其中　　　　叫做对数的底数,　　　　叫做真数.  x=logaN a N 知识点二　对数与对数运算 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①=　　　　(a>0,且a≠1);  ②logaaN=　　　　(a>0,且a≠1);  ③零和负数没有对数. N N (2)对数的运算法则(a>0,且a≠1,M>0,N>0) ①loga(MN)=　　　　　　;  ②loga=　　　　　 　;  ③logaMn=　　　　　　(n∈R).  (3)对数的重要公式 ①换底公式:logab=　　　　(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1);  ②logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 1.(多选)(人A必修第一册P109习题T2改编)设a>0,m,n是正整数,且n>1,则下列各式正确的是(　　 ) A.=a　　　　　　　 B.=a C.a0=1 D.= BCD 自我评价 2.(人A必修第一册P126练习T1改编)计算:2lg-lg =(　　) A.10 B.1 C.2 D.lg 5 解析:原式=lg()2+lg=lg 5+lg 2=lg 10=1. B 3.若=3,则a-lo=(　　) A.-1 B.1 C. D.3 B 解析:因为=3,所以-a=log53, 所以a-lo=a-=a+(-a)+1=1. 4.计算:++4=　　　　　.  解析:++4=22++=4+2+4=10. 10 1.lg 2+lg 5=1. 2.换底公式的变形:logab·logbc·logcd=logad,lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0,m≠0). 3.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(1)+(-8+80.25×+=　　　　　.  [解析]　+(-8+80.25×+=+(-2)2+×+π-2=+4+2+π-2=π+. π+ 考点一　根式、指数式的化简与求值 (2)化简:÷(a>0,b>0)=　　　　　.  [解析]　÷=÷=ab÷(a-3b-3 =ab÷(a2b2)=. (3)已知f(x)=3x+3-x,且f=4,则f(a)=　　　　　.  [解析]　由已知得+=4,所以=16,即3a+3-a+2=16, 因此3a+3-a=14,故f(a)=3a+3-a=14. 14 方法总结 指数幂运算的一般原则 1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. 2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数.底数是带分数的,先化成假分数. 4.若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 跟踪训练 (多选)下列计算正确的是(　　) A.= B.()(-3)÷=-9a(a>0,b>0) C.= D.已知x2+=2,则x+=2 BC 解析:对于A,===≠,所以A错误; 对于B,÷=-9·=-9a(a>0,b>0),所以B正确; 对于C,==,所以C正确; 对于D,因为(x+)2=x2+2+=4,所以x+=±2,所以D错误. 角度1　对数的运算与化简 [例2]　(1)(2025·河南平顶山模拟)若2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为(　　) A.4　　　　　　　　　 B.1或 C.1或4 D. D 考点二　对数式的化简与求值 [解析]　∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy),∴(x-2y)2=xy, 即x2-5xy+4y2=0,-5+4=0, ∴=0,解得=1或=4. 又∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴>2,∴=4,即=. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a=　　　　　.  [解析]　由-=-log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,∴log2a=-1,或log2a=6. 又a>1,∴log2a=6=log226,故a=26=64. 64 (3)(2025·辽宁沈阳模拟)若log32=m,则log296=　　　　　(用含m的式子表示).  [解析]　由log32=m,得=m,即log23=, ∴log296=log2(25×3)=log225+log23=5+. 5+ 方法总结 对数运算的一般思路 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 4.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 角度2　指数与对数的综合运算 [例3]　(1)(2025·山东德州模拟)已知2a=7b=k,若+=1,则k的值为(　　) A.28 B. C.14 D. A [解析]　∵2a=7b=k, ∴a=log2k,b=log7k, ∴=logk2,=logk7, ∴+=2logk2+logk7=logk28=1, ∴k=28. (2)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C [解析]　由2a=5 两边同时取以2为底的对数,得a=log25. 又b=log83==log23, ∴a-3b=log25-log23=log2==2log4=log4, ∴4a-3b==. (3)设4m=36,3n=6,则+=　　　　　.  [解析]　由4m=36,得2m=6,则m=log26,由3n=6,得n=log36, ∴+=+=log62+log63=log66=1. 1 跟踪训练 1.计算:lg 25+lg 2×lg 50+(lg 2)2=　　　　　.  解析:原式=2lg 5+lg 2(1+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 5+lg 2+lg 2×lg 5+(lg 2)2 =1+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =1+lg 5+lg 2=1+lg 10=2. 2 2.已知a=log23,4=3b,则ab=　　　　　.  解析:∵4=3b, ∴log24=blog23, b=, ∴ab=log23×=2. 2 [例4]　(1)(2025·陕西榆林模拟)放射性核素锶-89的质量M会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质量M与时间t(单位:天)的函数关系为M=M0·(其中h为常数),若锶-89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天,那么质量为M0的锶-89经过30天衰减后质量大约变为(参考数据:20.6≈1.516)(　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.68M0 D.0.66M0 D 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 [解析]　由题意,锶-89半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天, 即M0≈M0·,则h≈50,所以质量为M0的锶-89经过30天衰减后,质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0. (2)(2025·湖南长沙模拟)二维码与我们的生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的,即441个点组成.根据0和1的二进制编码规则,一共有2441种不同的码,假设我们1万年用掉3×1015个二维码,那么所有二维码大约可以用(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.10117万年 B.10118万年 C.10119万年 D.10200万年 A [解析]　因为1万年用掉3×1015个二维码,所以大约能用万年, 设x=, 则lg x=lg=lg 2441-(lg 3+lg 1015)=441lg 2-lg 3-15≈441×0.301-0.477-15≈117, 即x≈10117万年. 跟踪训练 1.对数螺线广泛应用于科技领域,某种对数螺线可以用ρ=α表达,其中α为正实数,φ是极角,ρ是极径.若φ每增加个单位,则ρ变为原来的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.eπ倍 B 解析:当极角是φ时,ρ=α·, 当极角增加个单位时,ρ'=α·, ∴==, ∴ρ'=ρ. 2.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料,是有多孔隙结构特点的除甲醛材料,它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子,因此用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现,叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q=2log2,当除甲醛的量为8个单位时,其质量m为 　　　　　 个单位.  160 解析:由题意得8=2log2,所以log2=4,即24=,所以m=24×10=160. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.下列运算正确的是(　　) A.×= B.=a3 C.÷= D.(-a)9÷a3=(-a)6 C A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:×==3,A错误; =|a3|,B错误; ÷=×=,C正确; (-a)9÷a3=(-a9)÷a3=-a6,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2025·湖南衡阳模拟)若2x=7,2y=6,则4x-y=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析:2x=7,2y=6,则===. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.求值:2log510-log54=(　　) A.1 B.log516 C.2 D.log596 解析:2log510-log54=log5100-log54=log525=2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.计算+log25-log210的值为(　　) A.-10 B.-8 C.10 D.8 解析:+log25-log210=(36+log2=9-1=8. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若m>0,n>0,a>0且a≠1,b>0,则下列等式正确的是(　　) A.a-n= B.logam·logan=loga(m+n) C.= D.= D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:a-n=,故A错误;logam+logan=loga(mn),故B错误;=,故C错误.根据指数运算公式可知D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.下列结论中,正确的是(　　) A.若a>0,则·=a B.若m8=2,则m=± C.若a+=3,则+=± D.=2-π B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,根据分数指数幂的运算法则,可得·==,当a=1时,=a;当a≠1时,≠a,故A错误; 对于B,m8=2,故m=±,故B正确; 对于C,a+=3,则=a++2=3+2=5,因为a>0,所以+=,故C错误; 对于D,=|2-π|=π-2,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.射线测厚技术原理公式为I=I0e-ρμt,其中I0,I分别为射线穿过被测物前后的强度,e是自然对数的底数,t为被测物厚度,ρ为被测物的密度,μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅-241低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为(　　) (注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度, ln 2≈0.693 1,结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题意可得,t=0.8,ρ=7.6,=,因为I=I0e-ρμt,所以=e-7.6×0.8×μ,即μ=≈≈0.114.所以这种射线的吸收系数为0.114. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)已知a,b均为正实数,若logab+logba=,ab=ba,则=(　　) A. B. C. D.2 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:令t=logab,则t+=, ∴2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,∴t=或t=2, ∴logab=或logab=2,∴a=b2或a2=b. ∵ab=ba,代入得2b=a=b2或b=2a=a2, ∴b=2,a=4或a=2,b=4, ∴=2或=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(多选)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.=+ D.=- AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k, 由ab+bc=2ac,可得+=2,因为+=+=+=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误; +=+=2logk4+logk6=logk96,==2logk9=logk81,故≠+,故C错误; -=-=2logk6-logk4=logk9,==logk9,故=-,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　　　.  解析:f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4=a3ln 2=(aln 2)3=8,∴aln 2=2, ∴a=e. e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.计算下列各值: (1)++0.1-2-×π0; 解:原式=++-=++100-=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)lg 25+lg 8-log227×log32+; 解: 原式=2lg 5+2lg 2-3log23×log32+3 =2(lg 5+lg 2)-3+3=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)(log29)×(2)×.  解: (log29)×(2)× =2log23××=2lo3×=4×=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据公式v=v0ln,可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知经过材料更新和技术改进后,某火箭的喷流相对速度提高到原来的倍,总质比变为原来的,若要使该火箭在理想状态下的最大速度至少提高v0,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值约为(参考数据:2.718<e<2.719)(　　) A.85 B.86 C.87 D.88 C B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由题意,令v0ln≥v0ln+v0,化简得5≥4ln+1,即ln≥5ln 2+1,可得≥e5ln 2+1=32e≈87,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.(多选)已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x),g(x)满足(　　) A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B.f(x)-g(x)=π-x C.f(2x)=2f(x)g(x) D.[f(x)]2-[g(x)]2=1 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:A正确,f(-x)==-f(x),g(-x)==g(x),所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x); B不正确,f(x)-g(x)=-==-π-x; C正确,f(2x)==2··=2f(x)g(x); D不正确,-=-= =·=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2025·山西运城模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度的正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位:h)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数,已知S0=60%,给氧2 h后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,求至少还需要给氧时间(单位:h)为多少.(精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要(t-2)h, 由题意可得60e2K=80,60eKt=90,两边同时取自然对数, 得K=ln=ln=ln 2-ln 3,Kt=ln=ln=ln 3-ln 2, 则t=≈≈2.9, 则给氧时间至少还需要0.9 h. $$