第2章 第6节 指数与对数的运算-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第六节　指数与对数的运算 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，掌握指数幂的运算性质.　 2.理解对数的概念和运算性质，利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.　 3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义). (2)当n为奇数时，＝_________； 当n为偶数时，＝_________＝ a |a| 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 5 2.分数指数幂的意义 分数 指数幂 正数的正分数指数幂 规定：(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂 规定：(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂_________ 没有意义 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 6 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_________(a＞0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝_________(a＞0，b＞0，r∈Q). 4.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. ar＋s arbr 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 7 1.对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中_________叫做对数的底数，_________叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝_________(a＞0，且a≠1)； ②logaaN＝_________(a＞0，且a≠1)； ③零和负数没有对数. x＝logaN a N N N 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 8 (2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0) ①loga(MN)＝______________； ②loga＝_____________； ③logaMn＝_________(n∈R). logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 9 (3)对数的重要公式 ①换底公式：logab＝_______(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)； ②logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). 知识梳理 知识点二　对数与对数运算 10 1.(多选)设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是 (　 　) A.＝a　　　　　　　 B.＝a C.a0＝1 D. BCD 自我评价 11 2.计算：2lg －lg ＝(　　) A.10 B.1 C.2 D.lg 5 解析：原式＝lg()2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. B 自我评价 12 3.若＝3，则a－lo＝(　　) A.－1 B.1 C. D.3 解析：因为＝3，所以－a＝log53， 所以a－lo＝a－＝a＋(－a)＋1＝1. B 自我评价 13 4.计算：4＝__________.  解析：4＝22＋＝4＋2＋4＝10. 10 自我评价 14 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形：logab·logbc·logcd＝logad，lobn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0，m≠0). 3.对数值的符号规律：logab＞0⇔(a－1)(b－1)＞0，logab＜0⇔(a－1)(b－1)＜0(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). 常用结论 15 关键能力　重点探究 16 [例1]　(1)＋(－8＋80.25×＝__________.  [解析]　＋(－8＋80.25×＋(－2)2＋＋π－2＝＋4＋2＋π－2＝π＋. π＋ 考点一　根式、指数式的化简与求值 17 (2)化简：÷(a＞0，b＞0)＝__________.  [解析]　÷÷＝ab÷ (a－3b－3＝ab÷(a2b2)＝. 考点一　根式、指数式的化简与求值 18 (3)已知f (x)＝3x＋3－x，且f ＝4，则f (a)＝__________.  [解析]　由已知得＝4，所以＝16，即3a＋3－a＋2＝16， 因此3a＋3－a＝14，故f (a)＝3a＋3－a＝14. 14 考点一　根式、指数式的化简与求值 19 指数幂运算的一般原则 1.有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算. 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数.底数是带分数的，先化成假分数. 4.若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 方法总结 20 (多选)下列计算正确的是(　　 ) A. B.()(－3)÷＝－9a(a＞0，b＞0) C. D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 BC 跟踪训练 21 解析：对于A，≠，所以A错误； 对于B，÷＝－9·＝－9a(a＞0，b＞0)，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误. 跟踪训练 22 角度1　对数的运算与化简 [例2]　(1)(2025·河南平顶山模拟)若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为 (　　) A.4　　　　 B.1或 C.1或4 D. [解析]　∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，∴(x－2y)2＝xy， 即x2－5xy＋4y2＝0，－5＋4＝0， ∴＝0，解得＝1或＝4. 又∵x－2y＞0，且x＞0，y＞0，∴＞2，∴＝4，即. D 考点二　对数式的化简与求值 23 (2)(2024·全国甲卷)已知a＞1，且＝－，则a＝________.  [解析]　由log2a＝－，得(log2a)2－5log2a－6＝0，∴log2a＝－1，或log2a＝6. 又a＞1，∴log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 64 考点二　对数式的化简与求值 24 (3)(2025·辽宁沈阳模拟)若log32＝m，则log296＝__________(用含m的式子表示).  解析：由log32＝m，得＝m，即log23＝， ∴log296＝log2(25×3)＝log225＋log23＝5＋. 5＋ 考点二　对数式的化简与求值 25 对数运算的一般思路 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 方法总结 26 角度2　指数与对数的综合运算 [例3]　(1)(2025·山东德州模拟)已知2a＝7b＝k，若＝1，则k的值 为(　　) A.28 B. C.14 D. [解析]　∵2a＝7b＝k， ∴a＝log2k，b＝log7k， ∴＝logk2，＝logk7， ∴＝2logk2＋logk7＝logk28＝1， ∴k＝28. A 考点二　对数式的化简与求值 27 (2)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. [解析]　由2a＝5 两边同时取以2为底的对数，得a＝log25. 又b＝log83＝log23， ∴a－3b＝log25－log23＝log2＝2log4＝log4， ∴4a－3b＝. C 考点二　对数式的化简与求值 28 (3)设4m＝36，3n＝6，则＝__________.  [解析]　由4m＝36，得2m＝6，则m＝log26，由3n＝6，得n＝log36， ∴＝log62＋log63＝log66＝1. 1 考点二　对数式的化简与求值 29 1.log29·log34＋lg 25＋lg 4＋＝__________.  解析：原式＝·＋lg(25×4)＋2＝4＋2＋2＝8. 8 跟踪训练 30 2.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝__________，b＝__________.  解析：设logba＝t，则t＞1.因为t＋， 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba， 所以，即2b＝b2. 又a＞b＞1，解得b＝2，a＝4. 4 2 跟踪训练 31 [例4]　(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 32 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分 别为p1，p2，p3，则(　 　) A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 ACD 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 33 [解析]　由题意知20×lg ＝40，即lg ＝2，所以p3＝100p0，故C正确. 由题意知≥，所以20×lg ≥20×lg ，所以p1≥p2，故A正确. ＝20×lg ∈[50，60]，所以≤lg ≤3，所以p2∈[1p0，103p0]，即p2≤103p0＝10p3，故B错误. ＝20×lg ∈[60，90]，所以3≤lg ≤， 所以p1∈[103p0，1p0].因为100p2∈[1p0，105p0]， 所以p1≤100p2，故D正确. 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 34 1.对数螺线广泛应用于科技领域，某种对数螺线可以用ρ＝α表达，其中α为正实数，φ是极角，ρ是极径.若φ每增加个单位，则ρ变为原来的 (　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.eπ倍 B 跟踪训练 35 解析：当极角是φ时，ρ＝α·， 当极角增加个单位时，ρ'＝α·， ∴， ∴ρ'＝ρ. 跟踪训练 36 2.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，是有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q＝2log2，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为__________个单位.  解析：由题意得8＝2log2，所以log2＝4，即24＝，所以m＝24×10＝160. 160 跟踪训练 37 课时作业　巩固提升 38 1.下列运算正确的是(　　) A. B.＝a3 C.÷ D.(－a)9÷a3＝(－a)6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 39 解析：＝3，A错误； ＝|a3|，B错误； ÷，C正确； (－a)9÷a3＝(－a9)÷a3＝－a6，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 40 2.(2025·湖北武汉调研)已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则log(ab)m＝ (　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由换底公式得logma＝，logmb＝， 所以log(ab)m＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 41 3.求值：2log510－log54＝(　　) A.1 B.log516 C.2 D.log596 解析：2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 42 4.计算＋log25－log210的值为(　　) A.－10 B.－8 C.10 D.8 解析：＋log25－log210＝(36＋log2＝9－1＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 43 5.已知log29＝a，log25＝b，则log275用a，b表示为(　　) A.2a＋2b B.2a＋b C.(a＋b) D.a＋2b 解析：因为log275＝log2(25×3)＝log225＋log23＝2log25＋log29＝a＋2b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 44 6.(2025·浙江杭州模拟)化简(a＞0，b＞0)的结果是(　　) A. B. C. D. 解析：＝ab－1＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 45 7.射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅－241低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种 射线的吸收系数为(　　) (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2 ≈0.693 1，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 解析：由题意可得，t＝0.8，ρ＝7.6，，因为I＝I0e－ρμt，所以＝ e－7.6×0.8×μ，即μ＝≈≈0.114.所以这种射线的吸收系数为0.114. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 46 8.(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　 ) A. B. C. D.2 解析：令t＝logab，则t＋， ∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，∴t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b. ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4， ∴＝2或. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 47 9.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　 　) A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 48 解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k＞0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k， 由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误； ＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故≠，故C错误； ＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 49 10.计算：＋0.1－2－×π0＝__________.  解析：原式＝＋100－＝100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 100 A组　基础保分练 50 11.计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋＝__________.  解析：原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3 ＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 2 A组　基础保分练 51 12.计算：(log29)×(2)×＝__________.  解析：(log29)×(2)× ＝2log23×＝2lo3×＝4×＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 1 A组　基础保分练 52 13.设a＝log0.14，b＝log504，则(　　) A.2ab＜2(a＋b)＜ab B.2ab＜a＋b＜4ab C.ab＜a＋b＜2ab D.2ab＜a＋b＜ab 解析：因为a＝log0.14，b＝log504， 所以a＜0，b＞0，所以ab＜0， ＝log40.1＋log450＝log45∈(1，2)， 即1＜＜2， 所以2ab＜a＋b＜ab. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D B组　能力提升练 53 14.(多选)已知函数f (x)＝，g(x)＝，则f (x)，g(x)满足 (　 　) A.f (－x)＋g(－x)＝g(x)－f (x) B.f (x)－g(x)＝π－x C.f (2x)＝2f (x)g(x) D.[f (x)]2－[g(x)]2＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC B组　能力提升练 54 解析：A正确，f (－x)＝＝－f (x)，g(－x)＝＝g(x)，所以 f (－x)＋g(－x)＝g(x)－f (x)； B不正确，f (x)－g(x)＝＝－π－x； C正确，f (2x)＝＝2··＝2f (x)g(x)； D不正确， ·＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 55 15.(2025·山西运城模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度的正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：h)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数，已知S0＝60%，给氧2 h后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：h)为 (精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.2.9 B.3.0 C.0.9 D.1.0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 56 解析：设使得血氧饱和度达到90%，给氧时间至少还需要(t－2)h， 由题意可得60e2K＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数， 得K＝ln ln ＝ln 2－ln 3，Kt＝ln ＝ln ＝ln 3－ln 2， 则t＝≈≈2.9， 则给氧时间至少还需要0.9 h. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 57 $$