第2章 第5节 幂函数与二次函数-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第五节　幂函数与二次函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 学习要求 1.通过具体实例,理解幂函数的概念.　2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.　3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.幂函数的概念 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数.  y=xα 知识梳理 知识点一　幂函数 2.5个简单幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R {x|x≥0} 　　　　　  值域 R {y|y≥0} R 　　　　　  {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 　　　　  {x|x≠0} {y|y≥0} 奇函数 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 单调性 在R上 单调 递增 在(-∞,0)上单调 递减,在(0,+∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0,+∞)上 单调递增 在(-∞,0)和(0, +∞)上单调递减 图象   1.二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=　　　　　　　　.  顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　　　　.  零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的　　　　.  ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 零点 知识点二　二次函数 2.二次函数的图象和性质 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 图象     定义域 R 值域 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 单调性 在上单调递减,　 在上单调递增　　 在上单调递增,　 在上单调递减　　 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 对称轴:x=-; 顶点: 1.(人A必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=(　　) A.　　　　　　　　　　 B.1 C. D.2 C 自我评价 解析:由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点,所以=,解得α=,则k+α=. 2.(人A必修第一册P86T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 解析:函数f(x)=-2x2+4x的对称轴为直线x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x) 的值域为[-6,2]. A 3.已知幂函数f(x)=.若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为　　　　　.  解析:由题意知 解得3<a<5. (3,5) 4.若函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上单调递增,则t的取值范围是　　　　　.  解析:函数y=x2-2tx+3 的图象开口向上,以直线x=t 为对称轴.又函数y=x2-2tx+3 在[1,+∞) 上单调递增,则t≤1. (-∞,1] 幂函数y=xα 的图象在第一象限内的变化规律 1.直线x=1的右侧,图象由上至下,指数α 由大到小. 2.y轴和直线x=1之间,图象由上至下,指数α 由小到大. 3.α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增. α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减. 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.幂函数f(x)=(m2+m-5)在区间(0,+∞)上单调递增,则 m=2或m=-3 B.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=2 C.幂函数y=xa中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为 D.“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)x2n-3在(0,+∞)上单调递减”的充要条件 BCD 考点一　幂函数的图象与性质 [解析]　对于A,由题意得,m2+m-5=1, 即m2+m-6=0,解得m=2 或m=-3. 当m=2时,可得函数f(x)=x3, 此时函数f(x) 在区间(0,+∞) 上单调递增,符合题意; 当m=-3时,可得f(x)=x-2, 此时函数f(x) 在区间(0,+∞) 上单调递减,不符合题意,A错误. 对于B,由幂函数的定义,知m2-3m+3=1, 解得m=1 或m=2.当m=1 时,f(x)=x的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2 时,f(x)=x2的图象关于y 轴对称, 因此m=2,B正确. 对于C, a=-1时,y=定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意; a=0时,y=x0定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{1},故不符合题意; a=时,y=定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),符合题意; a=1时,y=x定义域与值域均为R,符合题意; a=2时,y=x2定义域为R,值域为[0,+∞),不符合题意; a=3时,y=x3定义域与值域均为R,符合题意,C正确. 对于D,因为f(x)=(n2-3n+3)x2n-3是幂函数, 所以n2-3n+3=1,即n2-3n+2=0, 解得n=1或n=2, 当n=1时,f(x)=x-1=在(0,+∞)上单调递减;当n=2时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增. 所以“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)在(0,+∞)上单调递减”的充要条件,D正确. 方法总结 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 跟踪训练 1.已知幂函数的图象经过点P(8,4),则该幂函数的大致图象是(　　) C 解析:设幂函数为f(x)=xα,则8α=4,23α=22,得3α=2,得α=, 所以f(x)=,定义域为R,所以排除A,D; 因为f(-x)===f(x),所以函数为偶函数,所以排除B. 2.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　　　　　 B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c D 解析:因为y=在第一象限内是增函数,所以a=>b=.因为y=是减函数,所以a=<c=,所以b<a<c. 角度1　二次函数的图象 [例2]　(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),且对称轴为直线x=-1,则以下选项正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b AD 考点二　二次函数的图象与性质 [解析]　∵二次函数的图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确; ∵对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a,即2a-b=0,故B错误; 由图象可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误; 把x=1,x=-3代入解析式可得a+b+c=0,9a-3b+c=0,两式 相加整理可得5a-b=-c.又当x=0时,y=c>0,∴5a-b<0,故D正确. 角度2　二次函数的最值问题 [例3]　已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. [解]　①当0<≤1,即a≥时, f(x)在区间[1,2]上单调递增, 此时g(a)=f(1)=3a-2. ②当1<<2,即<a<时, f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1. ③当≥2,即0<a≤时, f(x)在区间[1,2]上单调递减, 此时g(a)=f(2)=6a-3. 综上所述,g(a)= 方法总结 二次函数性质问题的类型及求解策略 1.类型:(1)对称轴和区间都是固定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间动. 2.求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 跟踪训练 1.设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　) D 解析:因为abc>0, 所以在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意; 在B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意; 在C中,a>0,b>0,c<0,不符合题意; 在D中,a>0,b<0,c<0,符合题意. 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,则实数a的值为 　　　　　.  解析:f(x)=a(x+1)2+1-a.当a=0 时,函数f(x) 在区间[-1,2] 上的值为常数1,不符合题意,舍去;当a>0 时,函数f(x) 在区间[-1,2] 上单调递增,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;当a<0 时,函数f(x) 在区间[-1,2] 上单调递减,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.综上可知,实数a 的值为 或-3. 或-3 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f =(　　) A.3　　　　　　　　　　 B.-3 C. D.- 解析:设f(x)=xα ,则=2α=3,所以f ===. C A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y=1-|x-x2|的图象大致是(　　) 解析:当0≤x≤1 时,y=x2-x+1=+;当x>1 或x<0 时,y=-x2+x+1=-+,因此,结合图象可知选项C正确. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限,则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:当α=-2时,f(x)=x-2为偶函数,图象在第一和第二象限,不经过第三象限,A不符合题意; 当α=2时,f(x)=x2为偶函数,图象过原点,分布在第一和第二象限,不经过第三象限,B不符合题意; 当α=时,f(x)=,x∈[0,+∞),图象过原点,分布在第一象限,不经过第三象限,C不符合题意; 当α=时,f(x)=,x∈R,为奇函数,图象经过原点和第一、三象限,D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a=,b=,c=,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由题意得b=<==a, a==<4<5==c, 所以b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:对于A,二次函数的图象开口向下,所以a<0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递减,与图中符合; 对于B,二次函数的图象开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,与图中不符合; 对于C,二次函数的图象开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,与图中符合; 对于D,二次函数的图象开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,与图中符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上的值域为[5,6],则实数m的取值范围是(　　) A.(0,1] B.[1,3] C.(0,2] D.[1,2] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,画出f(x)的图象如图所示, 由于f(x)在区间[0,m]上的值域为[5,6], 由图可知,m的取值范围是[1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(x+2)是偶函数,则下列大小关系可能正确的是(　　) A.f(2)<f=c B.f<f(x)<c C.f(2)>f>c D.f<f(2)=c A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为f(x+2) 是偶函数,所以直线x=2 是y=f(x) 图象的对称轴. f=a·+b·+c=c,这样B,C,D均不可能成立.当a>0 时,f(2)是最小值,因此f(2)<f=c 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选)幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是(　 　) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增, 所以解得m=3,所以f(x)=x3,所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), 故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(-1,0)上单调递增 C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3] AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由题意,当x≥0 时,f(x)=x-x2=-+;当x<0 时,f(x)=-x2-x= -+,f(x)的最大值为,A正确;f(x)在上单调递减,B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),C错误;当x≥0 时,f(x)+2x=3x-x2 ≥0的解集为[0,3],当x<0 时,f(x)+2x=x-x2≥0无解,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2)=　　　　　.  解析:由题意可知 解得m=2,所以f(x)=x11,f(2)=211. 211 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是　　　　　.  解析:依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x) 在区间[0,1] 上单调递减,所以a>0,即函数图象开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0) 时,有0≤m≤2. [0,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 解:(1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当a>0时,f(x)=ax2-2x图象开口方向向上,且对称轴为x=. ①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]内,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)min=f=-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当>1,即0<a<1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2. (3)当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧, ∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2. 综上所述,f(x)min= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 13.已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)在(0,+∞)上单调递减. (1)求m的值; 解:由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或m=-3. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2, 则m=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 (2)若(2a-1<(a+3,求a的取值范围. 解: 设g(x)=x3,则g(x)是增函数. 由(1)可知(2a-1<(a+3,即(2a-1)3<(a+3)3, 则2a-1<a+3,解得a<4, 即a的取值范围为(-∞,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(多选)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a等于(　　) A.- B. C.-5 D.5 BC B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1, 当a>0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1, 由15a+1=6,解得a=,符合题意; 当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a, 由1-a=6,解得a=-5,符合题意, 所以a的值为或-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,所以≤0,即m≤0; 当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,所以-≤1,即m≥-2. 综上,实数m的取值范围是[-2,0]. [-2,0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,0),(5,0),且最小值为-. (1)求函数的解析式; 解:由题意设函数的解析式为y=ax(x-5)(a>0), 由已知可得二次函数图象的顶点坐标为, 代入得-=a××,解得a=2, 所以二次函数的解析式为y=2x(x-5),即y=2x2-10x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当t≤x≤t+1时,该函数的最小值为-12,求此时t的值. 解: 由(1)知y=2x2-10x=2-, 其图象开口向上,对称轴为直线x=, 当t+1≤,即t≤时,y=2x2-10x在[t,t+1]上单调递减, 所以当x=t+1时,y=2x2-10x取得最小值, 所以2(t+1)2-10(t+1)=-12,解得t=1或t=2(舍去),所以t=1; 当t<<t+1,即<t<时,y=2x2-10x在x=时取得最小值-,不满足题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t≥时,y=2x2-10x在[t,t+1]上单调递增, 所以当x=t时,y=2x2-10x取得最小值, 所以2t2-10t=-12,解得t=3或t=2(舍去). 综上所述,t的值为1或3. $$